Trovare tutti i divisori dello zero di un anello (polinomi)

[chris9191]

Salve,
sono alle prese con un esercizio che mi chiede, dato $A= (\mathbb{Z}_7 [X])/(f(x))$ con $f(x)=4x^2-2$, di trovare tutti i divisori dello zero.

Ho qualche dubbio su un paio di punti.
1) Negli anelli del tipo $\mathbb{Z}_n$ (quindi non dei polinomi), c'è la funzione di Eulero che aiuta a capire quanti sono i divisori dello zero (esattamente $n-\phi(n)-1$). Questo discorso vale anche qui?
Potrei scrivere, dato che $A$ contiene $7^2=49$ elementi, che i divisori dello zero sono $49-\phi(49)-1$?

2) Di solito, quando mi viene chiesto di trovare un divisore dello zero, prendo un polinomio del tipo $p(x)=x-a$ con $a$ radice di $f(x)$ e dico che $p(x)$, per una serie di teoremi che non sto a scrivere, è un divisore dello zero. Sarà un divisore dello zero anche il quoziente $q(x)$ tale che $f(x)=p(x)q(x)$ (giusto?).
Il punto è che quando finisco i polinomi trovati con le radici e i rispettivi quozienti, non so più come trovare altri divisori dello zero (ammesso che ce ne siano altri).
Come posso fare?

Grazie anticipatamente.
Saluti