Trovare radici complesse di un polinomio.
Chi mi spiega o mi consiglia una dispensa che mi spieghi come trovare le radici complesse di un polinomio del tipo $x^n=a$ ?
Risposte
Se $a$ è un numero complesso, allora si può scrivere in modulo e fase, ottenendo
$x^n = \rho e^{i \theta}$
Ma $x$ è una variabile complessa, e anche lei può essere espressa in modulo e fase
$\rho_x^n e^{i n \theta_x} = \rho e^{i \theta}$
Quindi le $n$ radici del polinomio sono del tipo $\rho_x e^{i \theta_x}$ dove
$\rho_x = \root{n}{\rho}$
e
$n \theta_x = \theta + 2 k \pi \implies \theta_x = \frac{\theta}{n} + \frac{2 k \pi}{n}$, $k = 0, 1, \ldots, n-1$
$x^n = \rho e^{i \theta}$
Ma $x$ è una variabile complessa, e anche lei può essere espressa in modulo e fase
$\rho_x^n e^{i n \theta_x} = \rho e^{i \theta}$
Quindi le $n$ radici del polinomio sono del tipo $\rho_x e^{i \theta_x}$ dove
$\rho_x = \root{n}{\rho}$
e
$n \theta_x = \theta + 2 k \pi \implies \theta_x = \frac{\theta}{n} + \frac{2 k \pi}{n}$, $k = 0, 1, \ldots, n-1$
Se ho una equazione del tipo $x^4+1=0$, come faccio? 1 non è un numero complesso....
Radici complesse di quel polinomio si hanno quando $n$ è pari e $a<0$...In altri casi hai sempre radici reali...
"klarence":
Se ho una equazione del tipo $x^4+1=0$, come faccio? 1 non è un numero complesso....
Certo che è un numero complesso. Quella equazione equivale a $x^4 = -1$, e $-1 = 1 \cdot e^{i \pi}$.
"f.bisecco":
Radici complesse di quel polinomio si hanno quando $n$ è pari e $a<0$...In altri casi hai sempre radici reali...
Non sono d'accordo: l'equazione $x^4 = 1$ ha due radici reali e due complesse. O anche $x^3 = 1$, ha una radice reale e due complesse.
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