Trovare polinomio monico di grado 3
salve, non ho capito bene come si svolge l'esercizio qui di seguito:
per ogni numero primo positivo $p$, sia $f_p$ il polinomio $30x^4+16x^3+2x^2-x+1$ appartenente a $ZZ_p [x]$. Si trovi il numero primo $p$ per il quale $f_p$ sia monico di grado 3 ed abbia 1 come radice. Per tale valore di $p$, scrivere $f_p$ come prodotto di polinomi monici irriducibili in $ZZ_p [x]$.
Allora, trovare il numero primo che soddisfi la traccia significa che:
- tale numero $p$ deve dividere 30
- deve essere verificata la condizione $16=p * q + 1$
quindi scrivo i divisori primi di 30, ovvero 2, 3 e 5. Di questi, solo 3 e 5 rispettano la seconda condizione. arrivati a questo punto, dobbiamo lavorare in $ZZ_3$ e in $ZZ_5$...ma non ho capito bene come si deve trasformare il polinomio...per certo, contiene $x^3$ in quanto la traccia chiede che il polinomio sia monico di grado 3, ovvero che il coefficiente direttivo del polinomio sia 1 e il grado più alto del polinomio sia 3. qualcuno può aiutarmi a continuare lo svolgimento dell'esercizio, insieme?
ringrazio anticipatamente,
Vittorio
per ogni numero primo positivo $p$, sia $f_p$ il polinomio $30x^4+16x^3+2x^2-x+1$ appartenente a $ZZ_p [x]$. Si trovi il numero primo $p$ per il quale $f_p$ sia monico di grado 3 ed abbia 1 come radice. Per tale valore di $p$, scrivere $f_p$ come prodotto di polinomi monici irriducibili in $ZZ_p [x]$.
Allora, trovare il numero primo che soddisfi la traccia significa che:
- tale numero $p$ deve dividere 30
- deve essere verificata la condizione $16=p * q + 1$
quindi scrivo i divisori primi di 30, ovvero 2, 3 e 5. Di questi, solo 3 e 5 rispettano la seconda condizione. arrivati a questo punto, dobbiamo lavorare in $ZZ_3$ e in $ZZ_5$...ma non ho capito bene come si deve trasformare il polinomio...per certo, contiene $x^3$ in quanto la traccia chiede che il polinomio sia monico di grado 3, ovvero che il coefficiente direttivo del polinomio sia 1 e il grado più alto del polinomio sia 3. qualcuno può aiutarmi a continuare lo svolgimento dell'esercizio, insieme?
ringrazio anticipatamente,
Vittorio
Risposte
Scriviamo $f_3$ e $f_5$.
\[f_3 = x^3 + 2x^2 - x +1 (mod 3).\]
e
\[f_5 = x^3 + 2x^2 - x +1 (mod 5).\]
Vogliamo determinare quale dei due ha $1$ come radice. Perciò valutiamoli in $1$:
$f_3(1) = 1 + 2 - 1 + 1 = 3 = 0 mod 3,$
$f_5(1) = 1 + 2 - 1 + 1 = 3 \ne 0 mod 5.$
Perciò il primo che stiamo cercando è $p=3$ e il polinomio è $f_3 = x^3 + 2x^2 - x +1 (mod 3)$. Notiamo che anche $-1$ è radice di $f_3$ infatti: $f_3(-1) = -1 + 2 + 1 + 1 = 3 = 0 mod 3$. Visto che $0$ non è radice di $f_3$, si deduce che $1$ o $-1$ è una radice doppia. Per verificare quale delle due è una radice mi vengono in mente tre modi: puoi calcolare la derivata di $f_p$, e verificare quale tra $1$ e $-1$ è radice della derivata; oppure puoi calcolare $f_3$ diviso $(x+1)(x-1)$ (sempre in $\ZZ_3$) e vedere cosa viene; infine puoi calcolarti $(x+1)^2 (x-1)$ e $(x+1)(x-1)^2$ e vedere quale dei due è $f_3$.
\[f_3 = x^3 + 2x^2 - x +1 (mod 3).\]
e
\[f_5 = x^3 + 2x^2 - x +1 (mod 5).\]
Vogliamo determinare quale dei due ha $1$ come radice. Perciò valutiamoli in $1$:
$f_3(1) = 1 + 2 - 1 + 1 = 3 = 0 mod 3,$
$f_5(1) = 1 + 2 - 1 + 1 = 3 \ne 0 mod 5.$
Perciò il primo che stiamo cercando è $p=3$ e il polinomio è $f_3 = x^3 + 2x^2 - x +1 (mod 3)$. Notiamo che anche $-1$ è radice di $f_3$ infatti: $f_3(-1) = -1 + 2 + 1 + 1 = 3 = 0 mod 3$. Visto che $0$ non è radice di $f_3$, si deduce che $1$ o $-1$ è una radice doppia. Per verificare quale delle due è una radice mi vengono in mente tre modi: puoi calcolare la derivata di $f_p$, e verificare quale tra $1$ e $-1$ è radice della derivata; oppure puoi calcolare $f_3$ diviso $(x+1)(x-1)$ (sempre in $\ZZ_3$) e vedere cosa viene; infine puoi calcolarti $(x+1)^2 (x-1)$ e $(x+1)(x-1)^2$ e vedere quale dei due è $f_3$.
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