Trovare numeri interi tali che

[Sapphire_90]

Ciao a tutti, sono nuova e mi chiamo Alessandra..ho un piccolo problema coi numeri interi..la tipologia di esercizi è la seguente:

Trovare i numeri interi a,b,c,d, tali che :

$ 95a + 63b = -1 $
$ 294c + 296d = -5 $

c'è un modo, un metodo da seguire..? Sicuramente non posso fare a caso, no?

Grazie mille a tutti!!!

[klarence1]

"Sapphire_90":

$ 95a + 63b = -1 $


c'è un modo, un metodo da seguire..? Sicuramente non posso fare a caso, no?

Applicando l'algoritmo di Euclide

$95=63*1+32
$63=32*1+31
$32=31*1+1


quindi $1=32-31=32-(63-32)=32*2-63=(95-63)*2-63=95*2-63*3

allora $-1=95*-2+63*3

Il principio è quello di '' risalire'' l'algoritmo di euclide fino a ricavare il $mcd(95,63)$ nella forma $95y+63x$. In questo caso $-1=-mcd(95,63)$ quindi una volta trovati $x,y$ tali che $1=95y+63x$ basterà cambiare di segno a $x$ e $y$.


Nel secondo esercizio non esistono soluzioni... senza mettere troppo in mezzo la teoria già ti rendi conto che un numero della forma $294c+296d$, che è somma di numeri divisibili per due, sarà un numero divisibile per due qualsiasi siano $c$ e $d$... e $-5$ non è divisibile per due.

[Sapphire_90]

ah..ok..in pratica devo vedere se l'MCD è divisore del numero dopo l'uguale?

[klarence1]

"Sapphire_90":ah..ok..in pratica devo vedere se l'MCD è divisore del numero dopo l'uguale?

Si... esiste proprio un teorema che ti assicura l'esistenza delle soluzioni se 'il numero dopo l'uguale' è multiplo del MCD

[Sapphire_90]

ah ok grazie mille! Per caso ti ricordi come si chiama il teorema?

Comunque..ho provato a fare quest'altro: $ 176a + 164b = -8 $

MCD(176,164) = 4 perché:

$ 176 = 164*1 +12 $
$ 164 = 12*13 + 8 $
$ 12 = 8*1 + 4 $
$ 8 = 4*2 + 0 $

Poi, seguendo quello che mi hai detto tu mi pongo la domanda: il numero dopo l'uguale è multiplo dell'MCD? => -8 è multiplo di 4? NO!
Quindi mi fermo..giusto?

Grazie ancora!!!

[klarence1]

"Sapphire_90":
Poi, seguendo quello che mi hai detto tu mi pongo la domanda: il numero dopo l'uguale è multiplo dell'MCD? => -8 è multiplo di 4? NO!
Quindi mi fermo..giusto?

-8 è multiplo di 4, stai attenta.

[Sapphire_90]

mmmhhhh.... -8 è davvero multiplo di 4??? Ma scusa...se è negativo..??

allora posso trovare $ a $ e $ b $ ....adesso ci provo!

[klarence1]

"Sapphire_90":mmmhhhh.... -8 è davvero multiplo di 4??? Ma scusa...se è negativo..??

allora posso trovare $ a $ e $ b $ ....adesso ci provo!

$a' in ZZ$ è multiplo di $b' in ZZ$ se esiste $c' in ZZ$ tale che $a'=b'c'$.

[Sapphire_90]

grazie per il chiarimento sui multipli!!!

allora:
$ 4 = 12 - (164 - 12*13)*1 = -164 + 12*14 $
$ 4 = -164 + (176 - 264*1)*14 = 176*14 - 164*15 $

ho trovato i famosi $ x $ e $ y $ che sono 14 e -15...ma adesso..? io nell'esercizio ho -8, non 4..dovrei moltiplicare per -2 ?

[klarence1]

$ 4*(-2)= (176*14 - 164*15)*(-2)=176*(14*(-2))-164*(15*(-2))=-8 $ quindi $a$ e $b$ sono... quelli che vedi.

[Sapphire_90]

sììììììììììììììììììììììììììììì!!! devo moltiplicare per -2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

$ 176*-28=-4928 $
$ 164*30=4920 $

grazie mille per l'aiuto e la pazienza!!!!!!