Trovare l'ordine di un gruppo ciclico.

[paolodocet]

Buon pomeriggio a tutti ragazzi. Mi trovo in difficoltà nel trovare l'ordine di un gruppo.
Si consideri la seguente definizione:
Sia $g$ un elemento del gruppo $(G,.)$. Si dice ordine o periodo $o$ di g e si denota con $o(g)$ la cardinalità di $$.

Per il teorema seguente si ha:
Sia $g$ un elemento di un gruppo G. Allora, o è infinito e g si dice di periodo infinito, oppure il periodo $o(g)$ di $g$ coincide con il minimo intero positivo $m$ tale che:

$g^m = 1_G$

Allora proviamo a considerare il seguente gruppo ciclico: $(Z_15, +)$
Voglio trovare l'ordine di questo gruppo.

Per il teorema sopra enunciato, è necessario prendere un elemento del gruppo $(Z_15, +)$ e si deve cercare l'intero più piccolo che:

$g^m = [0]$

dato che $[0]$ è l'elemento neutro.

Ma a questo punto non so più come proseguire per trovare l'ordine del gruppo. Qualcuno saprebbe aiutarmi a fare chiarezza?
Grazie per la disponibilità e la pazienza. Buona giornata.

[Frink1]

Siccome ti trovi a lavorare con un gruppo additivo, la dicitura più comune, che forse è anche più comprensibile, invece di $g^m$ è $m*g$. In pratica devi trovare il più piccolo $m$ per cui valga che $m*g=[0]$. Quando ti trovi in $ZZ_(15)$ questo $m$ cambia a seconda del $g$ con cui lavori.

Riesci, alla luce di quanto detto, a scrivere alcuni $m$?

[paolodocet]

Ciao grazie della tua risposta. Vediamo:

$g^1 = [1]$
$g^2 = [1]+[1] = [2]$
$g^3 = [1] + [1] + [1] = [3]$
........
.......
.....
$g^15 = [1] + [1] + [1] + [1] + .................. + [1] = [15] = [0]$

Quindi il numero di elementi è proprio 15. Giusto?

[Frink1]

Dunque:

hai scelto $g=[1]$ e hai trovato che il periodo dell'elemento $[1]$ è proprio $15$.

Qual'è il periodo di $[3]$? E quello di $[4]$? C'è una stretta correlazione tra il periodo e l'ordine dell'insieme su cui lavori, se vuoi ne parliamo.

[paolodocet]

Non ho ben chiaro il concetto di ordine di un elemento. Potresti farmi un sunto della questione? Ciao grazie per la disponibilità

[Frink1]

"paolodocet":
Sia $g$ un elemento del gruppo $(G,*)$. Si dice ordine o periodo $o$ di g e si denota con $o(g)$ la cardinalità di $$.

Come ben hai scritto qui, questa è la definizione di ordine o periodo. Il problema ora passa a determinare di cosa si tratta $ sub G$.

Sul gruppo $G$ abbiamo l'operazione $*$. Avrete precedentemente definito un gruppo ciclico, ma è bene ricordare che $x in iff x=g*g*...*g$ ossia se $x$ è una potenza (in notazione moltiplicativa) o un multiplo (in notazione additiva) dell'elemento generatore del gruppo $g$. Useremo qui la notazione additiva, trovandoci in un gruppo additivo $ZZ_(15)$.

Diremo che il gruppo ciclico $<[1]>$ è identico al gruppo $ZZ_(15)$, per le ragioni dette da te nel precedente messaggio: ogni classe di resto può essere scritta in termini di multipli della classe $[1]$.

Facciamo ora un'altro esempio: cos'è $<[3]>$?

Scriviamo tutti i suoi elementi:
$[3]$, $2*[3]=[6]$, $3*[3]=[9]$, $4*[3]=[12]$, $5*[3]=[15]=[0]$... Attenzione! Abbiamo scoperto che la potenza quinta, o il multiplo quinto della classe di resto $[3]$ è l'elemento neutro rispetto alla nostra operazione, il nostro $1_G$ (che in notazione additiva si usa chiamare $0_G$.

Se provi a continuare la sequenza di moltiplicazioni, vedrai che si ripeteranno sempre le stesse $5$ classi di resto: il sottogruppo ciclico $<[3]>$ è descritto allora come il sottogruppo di supporto ${[0];[3];[6];[9];[12]}$. Qual è la cardinalità di $<[3]>$ allora? E' semplicemente il numero dei suoi elementi, ossia $5$. Ma $5$ è anche il più piccolo intero per cui è necessario moltiplicare $[3]$ per ottenere l'elemento neutro $[0]$. Puoi provare a dimostrare per esercizio che le due cose sono equivalenti.

[paolodocet]

Ok, sei stato chiaro. Supponiamo di prendere, come mi chiedevi in passato, il periodo di $g =[4].$
Procedendo come prima si ottiene:
$g^1 = [4]$
$g^2 = [8]$
$g^3 = [12]$
$g^4 = [16]$
$g^5 = [20]$
.......
.......
.......
$g^15 = [60] = [0]$

Quindi l'ordine di [4] in $Z15$ è proprio 15. Giusto?

[Frink1]

Esatto! E' chiaro ora come determinare l'ordine di un elemento di un gruppo?

[paolodocet]

Si è chiaro. Ma ho notato che preso un gruppo ciclico di n elementi, tutti gli elementi coprimi con n hanno esattamente ordine n. Si può affermare quindi che tutti gli elementi di $Z_15$ che hanno ordine 15 sono dati da $phi(15)$? Grazie per la pazienza, ciao.

[francicko]

Certamente, hai detto bene , il numero di generatori del gruppo ciclico $(Z_(15),+)$, o di un gruppo ciclico di ordine $15$ è proprio $phi(15)$, ed in generale di $(Z_(n),+)$ sono $phi(n)$.

[paolodocet]

Grazie a tutti per le risposte. Siete stati utilissimi e parecchio pazienti.