Trovare funzioni biunivoche
Ciao a tutti!
Perdonate la domanda forse un po' banale, per qualcuno, ma ho un problema di metodo che spero riusciate a risolvermi!
Do cos'è una funzione biunivoca, so che è l'equipotenza tra due insiemi, ossia una relazione d'equivalenza che associa ad ogni immagine una e una sola controimmagine fino ad esaurire il codominio col dominio.
La mia domanda è: a partire da dominio e codominio noti, come posso definire una funzione biiettiva che mi dimostri che effettivamente esiste una relazione biunivoca tra i due insiemi?
esempio:
D=[0,1] e C=[2,5] con f:D[tex]\rightarrow[/tex] C
come definisco la f che mi dimostra che D e C sono equipotenti?
Grazie mille in anticipo!
Perdonate la domanda forse un po' banale, per qualcuno, ma ho un problema di metodo che spero riusciate a risolvermi!
Do cos'è una funzione biunivoca, so che è l'equipotenza tra due insiemi, ossia una relazione d'equivalenza che associa ad ogni immagine una e una sola controimmagine fino ad esaurire il codominio col dominio.
La mia domanda è: a partire da dominio e codominio noti, come posso definire una funzione biiettiva che mi dimostri che effettivamente esiste una relazione biunivoca tra i due insiemi?
esempio:
D=[0,1] e C=[2,5] con f:D[tex]\rightarrow[/tex] C
come definisco la f che mi dimostra che D e C sono equipotenti?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
$f(x)=3x+2$
sì, non mi interessa sapere la risposta secca... la mia domanda era: c'è un metodo per trovare la risposta? Qual è questo metodo? Come posso arrivare anche io a dare la risposta corretta in tempi ragionevoli? Come si procede?
in generale per $D=[a,b]$ e $C=[c,d]$ puoi prendere $f(x)= alphax+beta$
con $alpha, beta in RR$ (e $alpha!=0$) da trovare. Certamente una $f$ così definita è sempre biunivoca
Deve valere $f(a)=c$ e $f(b)=d$, dunque ${(alpha*a+beta=c),(alpha*b+beta=d):}$
bisogna trovare $alpha$ e $beta$ in funzione di $a,b,c,d$.
con $alpha, beta in RR$ (e $alpha!=0$) da trovare. Certamente una $f$ così definita è sempre biunivoca
Deve valere $f(a)=c$ e $f(b)=d$, dunque ${(alpha*a+beta=c),(alpha*b+beta=d):}$
bisogna trovare $alpha$ e $beta$ in funzione di $a,b,c,d$.
Grazie mille, Gi8! Adesso mi è tutto chiarissimo 
Perfetto! Ora chiedo io a te: quanto viene $alpha$? quanto viene $beta$?
Scusami! Non mi ero accorto avessi risposto di nuovo!
Comunque, per f(0), [tex]\alpha[/tex] è indifferente e[tex]\beta[/tex]= 2; per f(1), [tex]\alpha[/tex] = 3 e[tex]\beta[/tex]= 2, quindi per la regola generale[tex]\alpha[/tex]= 3 e[tex]\beta = 2[/tex]
Giuro che non ci ho messo così tanto! È vero che non mi ero accorto della risposta!
Comunque, per f(0), [tex]\alpha[/tex] è indifferente e[tex]\beta[/tex]= 2; per f(1), [tex]\alpha[/tex] = 3 e[tex]\beta[/tex]= 2, quindi per la regola generale[tex]\alpha[/tex]= 3 e[tex]\beta = 2[/tex]
Giuro che non ci ho messo così tanto! È vero che non mi ero accorto della risposta!
Salve Coseb,
la mia perplessità sta proprio in quel "relazione di equivalenza"... se così fosse qual'è l'insieme in cui è definita?
Cordiali saluti
"Coseb":
Do cos'è una funzione biunivoca, so che è l'equipotenza tra due insiemi, ossia una relazione d'equivalenza che associa ad ogni immagine una e una sola controimmagine fino ad esaurire il codominio col dominio.
la mia perplessità sta proprio in quel "relazione di equivalenza"... se così fosse qual'è l'insieme in cui è definita?
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve Coseb,
la mia perplessità sta proprio in quel "relazione di equivalenza"... se così fosse qual'è l'insieme in cui è definita?
Cordiali saluti
scusa garnak, ma non ho ben capito la tua domanda...
Salve Coseb,
http://it.wikipedia.org/wiki/Cardinalit%C3%A0.... il secondo punto!!
E' più giusto dire soltanto che ha la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.... e ma non che è di equivalenza.!!!
Cordiali saluti
"Coseb":
scusa garnak, ma non ho ben capito la tua domanda...
http://it.wikipedia.org/wiki/Cardinalit%C3%A0.... il secondo punto!!
E' più giusto dire soltanto che ha la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.... e ma non che è di equivalenza.!!!
Cordiali saluti
Ah, vedo... però non mi è chiarissimo il motivo. Cioè il mio libro (Introduzione alla logica e al linguaggio matematico, scritto dalla mia professoressa A. Labella), definisce la relazione d'equivalenza solo come una relazione che gode delle proprietà riflessiva, transitiva e simmetrica. Mi pare di capire che, invece, la questione è molto più complessa! :O
Salve Coseb,
la tua prof. definisce bene... ma una relazione di equivalenza è una relazione binaria in un insieme, non vuoto, \( A \).. nel caso della equipotenza chi è l'insieme \( A \)? ammesso che l'equipotenza è una relazione di equivalenza! Uno penserebbe che \( A \) è l'insieme di tutti gli insiemi, ma non esiste un simile insiemi... in realtà l'unico insieme dove l'equipotenza è una relazione di equivalenza è l'insieme delle parti \( A \), ovvero \( P(A) \), rimanendo sempre da dire chi è \( A \).. Ma non è il caso, in questo caso, di definire l'equipotenza in questo modo..
Cordiali saluti
"Coseb":
Ah, vedo... però non mi è chiarissimo il motivo. Cioè il mio libro (Introduzione alla logica e al linguaggio matematico, scritto dalla mia professoressa A. Labella), definisce la relazione d'equivalenza solo come una relazione che gode delle proprietà riflessiva, transitiva e simmetrica. Mi pare di capire che, invece, la questione è molto più complessa! :O
la tua prof. definisce bene... ma una relazione di equivalenza è una relazione binaria in un insieme, non vuoto, \( A \).. nel caso della equipotenza chi è l'insieme \( A \)? ammesso che l'equipotenza è una relazione di equivalenza! Uno penserebbe che \( A \) è l'insieme di tutti gli insiemi, ma non esiste un simile insiemi... in realtà l'unico insieme dove l'equipotenza è una relazione di equivalenza è l'insieme delle parti \( A \), ovvero \( P(A) \), rimanendo sempre da dire chi è \( A \).. Ma non è il caso, in questo caso, di definire l'equipotenza in questo modo..
Cordiali saluti
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