Trovare centralizzante

[sradesca]

come si trova il centralizzante di un elemento in $S4$? facendo i calcoli?

[maurer]

Quello è un modo... non molto efficiente! XD

Un modo "comodo" è quello di ragionare sul reticolo dei sottogruppi, quando ce l'hai già (nel caso di [tex]\mathcal S_4[/tex] non è difficile da trovare). Certo che in generale è molto complesso da costruire...

Perciò ti chiedo: ti serve proprio sapere chi è il centralizzante, oppure ti basta la sua cardinalità?

[crypto4]

entrambi

[mistake89]

Determinare la cardinalità del centralizzante di un elemento c'è un teorema che dice: $|cl(x)|=[G:C_G (x)]$. Cioè il numero degli elementi coniugati a $x$ è pari all'indice del centralizzante in $G$. Ora in $S_4$ è semplice trovare gli elementi tra loro coniugati ed essendo $S_4$ finito, la cardinalità di $C_G (x)$ vien di conseguenza.
Determinarlo esplicitamente invece non è semplice, sopratutto in astratto, servirebbe conoscere l'elemento di cui si vuol calcolare il centralizzante e sviluppare qualche calcolo ad hoc.

[maurer]

Per la cardinalità, ha già detto tutto quello che volevo dire mistake89. Per determinarlo esplicitamente, c'è il metodo del reticolo, ma in realtà mi rendo conto che mi stavo confondendo: il reticolo di [tex]\mathcal S_4[/tex] è abbastanza incasinato da rendere il metodo inapplicabile. Quindi non saprei

[Martino]

In generale se [tex]g \in S_n[/tex] è prodotto di cicli disgiunti della forma [tex](k_1,\ldots,k_n)[/tex], i.e. [tex]k_i[/tex] cicli di lunghezza [tex]i[/tex] per [tex]i=1,\ldots,n[/tex], allora il centralizzante di [tex]g[/tex] in [tex]S_n[/tex] è isomorfo al prodotto diretto [tex]\prod_{i=1}^n C_i \wr S_{k_i}[/tex], dove [tex]C_i \wr S_{k_i}[/tex] indica il prodotto intrecciato (wreath product), cioè il prodotto semidiretto [tex]C_i^{k_i} \rtimes S_{k_i}[/tex] con l'azione di permutazione sui [tex]k_i[/tex] fattori. Infatti ogni ciclo della decomposizione e un (qualsiasi) elemento che permuta i cicli della stessa lunghezza centralizzano [tex]g[/tex].

Per esempio in [tex]S_4[/tex] il centralizzante di [tex](12)(34)[/tex] è isomorfo a [tex]C_2 \wr C_2 \cong D_8[/tex] (un 2-Sylow).

[sradesca]

"crypto4":entrambi

esatto