Trascendenti o algebrici???
Sono alle prese con i numeri algebrici e trascendenti...
Determinare quali dei seguenti numeri sono algebrici e quali trascendenti:
1) $1/root(3)(root(2)(2)+1)$
posto $alpha=1/root(3)(root(2)(2)+1)$ avremo $alpha^3=1/(root(2)(2)+1)$ poi $1-alpha^3=alpha^3*root(2)(2)$ ed infine sviluppando i calcoli si ottiene che $alpha$ è soluzione del polinomio $x^6+2*x^3-1$ quindi è algebrico. CORRETTO?
2) $root(2)(pi)$
posto $alpha=root(2)(pi)$ avremo $alpha^2=pi$ quindi il polinomio che si ottiene è $x^2-pi$ e dunque è trascendente. CORRETTO?
Vorrei provare a fare gli altri dopo aver letto le risposte a questi. Grazie
Determinare quali dei seguenti numeri sono algebrici e quali trascendenti:
1) $1/root(3)(root(2)(2)+1)$
posto $alpha=1/root(3)(root(2)(2)+1)$ avremo $alpha^3=1/(root(2)(2)+1)$ poi $1-alpha^3=alpha^3*root(2)(2)$ ed infine sviluppando i calcoli si ottiene che $alpha$ è soluzione del polinomio $x^6+2*x^3-1$ quindi è algebrico. CORRETTO?
2) $root(2)(pi)$
posto $alpha=root(2)(pi)$ avremo $alpha^2=pi$ quindi il polinomio che si ottiene è $x^2-pi$ e dunque è trascendente. CORRETTO?
Vorrei provare a fare gli altri dopo aver letto le risposte a questi. Grazie
Risposte
Il primo punto e' esatto...$\alpha$ e' la soluzione di un polinomio a coefficienti interi. La seconda ho dei dubbi, cosi' a occhio...hai fatto vedere che QUEL polinomio ha come radice $\sqrt{\pi}$ ma non hai fatto vedere che NON e' soluzione di un equazione polinomiale a coefficenti interi, non so se mi spiego. La questione sembra piu' delicata, se si vuole essere rigorosi. Dovresti ragionare per assurdo. Per esempio supponiamo che $\alpha=\sqrt{\pi}$ sia algebrico. Allora anche $\alpha^2$ sarebbe algebrico ASSURDO (per questo ultimo passaggio dovresti usare qualche teorema che te lo assicura ad esempio: ogni funzione algebrica IN UNA VARIABILE di un trascendente e' trascendente). Ho sottolineato in 1 variabile perche' puoi vedere che $1-\pi$ e $\pi$ sono trascndenti ma la somma (che e' una fuzione algebrica) non lo e'...spero sia tutto corretto e esaustivo! 
Uhm... qui manca da specificare a quale insieme si riferisce l'algebricità o la trascendenza... 
Lord non capisco la tua osservazione...un numero trascendente e' un numero non algebrico e quindi che non e' radice di un polinomio a coefficienti interi.
Grazie Tyler,
credo di aver capito, almeno in parte! Infatti il mio dubbio era proprio sul secondo numero.
Ora però mi trovo ancora in difficoltà per altri numeri:
3) $root(2)(2)+root(2)(3)+root(2)(5)$
penso di poter dire che è ALGEBRICO in quanto somma di numeri algebrici.. CORRETTO?
4) $e^2+e+1$
su questo invece non so proprio come iniziare...so che presi singolarmente i primi due sono trascendenti e il terzo è algebrico, ma non so come trarre conclusioni...
5) $pi/(root(2)(2)+3)$
credo trascendente in quanto funzione in una variabile di un trascendente ($pi$)... CORRETTO?
Grazie ancora!
credo di aver capito, almeno in parte! Infatti il mio dubbio era proprio sul secondo numero.
Ora però mi trovo ancora in difficoltà per altri numeri:
3) $root(2)(2)+root(2)(3)+root(2)(5)$
penso di poter dire che è ALGEBRICO in quanto somma di numeri algebrici.. CORRETTO?
4) $e^2+e+1$
su questo invece non so proprio come iniziare...so che presi singolarmente i primi due sono trascendenti e il terzo è algebrico, ma non so come trarre conclusioni...
5) $pi/(root(2)(2)+3)$
credo trascendente in quanto funzione in una variabile di un trascendente ($pi$)... CORRETTO?
Grazie ancora!
"tyler86":
Lord non capisco la tua osservazione...un numero trascendente e' un numero non algebrico e quindi che non e' radice di un polinomio a coefficienti interi.
La mia osservazione era errata.
"manuxy84":
Grazie Tyler,
credo di aver capito, almeno in parte! Infatti il mio dubbio era proprio sul secondo numero.
Ora però mi trovo ancora in difficoltà per altri numeri:
3) $root(2)(2)+root(2)(3)+root(2)(5)$
penso di poter dire che è ALGEBRICO in quanto somma di numeri algebrici.. CORRETTO?
4) $e^2+e+1$
su questo invece non so proprio come iniziare...so che presi singolarmente i primi due sono trascendenti e il terzo è algebrico, ma non so come trarre conclusioni...
5) $pi/(root(2)(2)+3)$
credo trascendente in quanto funzione in una variabile di un trascendente ($pi$)... CORRETTO?
Grazie ancora!
Per il primo ormai sai trovare il poilinomio e quindi e' algebrico...anche perche' ci assicura un teorema che la somma di algebrici (finita penso sia da imporre) e' algebrica. Il terzo, esattamente, e' una funzione algebrica di UNA variabile $\pi$ trascendente e quindi SICURAMENTE e' trascendnte... Il secondo mi sembra piu' delicato...a occhio e' trascendente...non puoi usare il fatto che sia una espressione a una variablile, anche se sembra, perche' $e$ e $e^2$ non sono algebricamente indipendenti...ci sarebbe un'altra cosa che si potrebbe usare, ma qui non sussiste l'ipotesi...se $a$ e $b$ sono algebricamente indipendenti allora anche $e^a$ e $e^b$ lo sono...adesso non ho nessun libro sottomano e questo e' quanto mi ricordo...se trovo qualcosa aggiungo...ciao!!
"manuxy84":Se $P(x)$ è un polinomio che annulla $e^2+e+1$ allora $Q(x)=P(x^2+x+1)$ annulla $e$...
4) $e^2+e+1$
su questo invece non so proprio come iniziare...so che presi singolarmente i primi due sono trascendenti e il terzo è algebrico, ma non so come trarre conclusioni...
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