[Topo-Logica] Teorema di Compattezza

[perplesso1]

Salve, il mio testo di Logica dice che c'è un collegamente fra il concetto topologico di compattezza e il teorema in oggetto. Qualcuno potrebbe esplicitarmi questa cosa che mi sembra molto intrigante o alternativamente darmi qualche riferimento bibliografico o magari qualche risorsa in rete per approfondire la questione? Grazie 1000!

[perplesso1]

Ho trovato qualche delucidazione sul blog di Terry Tao limitatamente al caso del teorema di compattezza per la logica proposizionale.

Observe that there is a one-to-one correspondence between truth assignments $\mathfrak U$ and elements of the product space $\{0,1\}^{\mathcal A}$, where $\mathcal A$ is the set of propositional variables. For every sentence $\phi$, let $F_\phi \subset \{0,1\}^{\mathcal A}$ be the collection of all truth assignments that satisfy $\phi$; observe that this is a closed (and open) subset of $\{0,1\}^{\mathcal A}$ in the product topology (basically because $\phi$ only involves finitely many of the propositional variables). If every finite subset $\Gamma'$ of $\Gamma$ is satisfiable, then $\bigcup_{\phi \in \Gamma'} F_\phi$ (ma qui non ci voleva l'intersezione invece dell'unione ?? ) is non-empty; thus the family $(F_\phi)_{\phi \in \Gamma}$ of closed sets enjoys the finite intersection property. On the other hand, from Tychonoff’s theorem, $\{0,1\}^{\mathcal A}$ is compact. We conclude that $\bigcap_{\phi \in \Gamma} F_\phi$ is non-empty, and the claim follows.

E poi non mi è perfettamente chiaro perchè quell'insieme $F_{\phi}$ è chiuso però ci credo. Ora sto pensando se si può fare lo stesso procedimento nel caso di una logica del primo ordine magari mettendo al posto di $\mathcal A$ l'insieme delle formule atomiche ??