Tipi di inclusione, sottoinsiemi propri ed impropri:
Buongiorno a tutti, mi sto occupando della didattica di un corso pre-universitario di fondamenti di matematica (insiemistica, logica, ecc.), ed ho un piccolo dubbio relativo all'esemplificazione dell'inclusione insiemistica. Tutto bene per quanto riguarda la definizione di "incluso o uguale":
$B \subseteq A \iff \forall x: x \in B \Rightarrow x \in A$
mentre l'inclusione "stretta" (sottoinsiemi propri) implica, parlando "grezzamente", che esista almeno un elemento che non è parte dell'insieme "più grande", ovvero in formule:
$B \subset A \Rightarrow \exists ! x : x \in A, x \notin B$
(con $\exists !$ intendo "esiste almeno")
Per cui ho proposto l'esercizio:
$A=\{1\}$
$B=\{1,2\}$
chiedendomi se siano vere:
a) $A \subset B$ V
b) $A \subseteq B$ V
Nella risoluzione dell'esercizio sono riportate come vere entrambe, ma non sono convintissimo della seconda (b), che per me potrebbe essere falsa... a meno che in "contenuto o coincidente" la "o" abbia valore di un OR, per cui è sufficiente che sia vera una delle due (contenuto V, coincidente F per cui è V anche la b).
La prima è ovviamente valida perchè esiste l'elemento $2$ che soddisfa la $(*)$, ma l'altra? Come posso trasmettere efficacemente l'idea che i due concetti di inclusione sono diversi... eppure in questo esempio valgono entrambi? Alla luce di qualche riflessione e di quanto ho letto su un post correlato all'argomento su questo sito, mi pare di capire che dire "contenuto o coincidente" esprima esattamente un OR, il che valida quanto scritto che non mi convinceva. Che ne dite? Grazie per l'aiuto e scusate per l'eventualità banalità della questione.
$B \subseteq A \iff \forall x: x \in B \Rightarrow x \in A$
mentre l'inclusione "stretta" (sottoinsiemi propri) implica, parlando "grezzamente", che esista almeno un elemento che non è parte dell'insieme "più grande", ovvero in formule:
$B \subset A \Rightarrow \exists ! x : x \in A, x \notin B$
(con $\exists !$ intendo "esiste almeno")
Per cui ho proposto l'esercizio:
$A=\{1\}$
$B=\{1,2\}$
chiedendomi se siano vere:
a) $A \subset B$ V
b) $A \subseteq B$ V
Nella risoluzione dell'esercizio sono riportate come vere entrambe, ma non sono convintissimo della seconda (b), che per me potrebbe essere falsa... a meno che in "contenuto o coincidente" la "o" abbia valore di un OR, per cui è sufficiente che sia vera una delle due (contenuto V, coincidente F per cui è V anche la b).
La prima è ovviamente valida perchè esiste l'elemento $2$ che soddisfa la $(*)$, ma l'altra? Come posso trasmettere efficacemente l'idea che i due concetti di inclusione sono diversi... eppure in questo esempio valgono entrambi? Alla luce di qualche riflessione e di quanto ho letto su un post correlato all'argomento su questo sito, mi pare di capire che dire "contenuto o coincidente" esprima esattamente un OR, il che valida quanto scritto che non mi convinceva. Che ne dite? Grazie per l'aiuto e scusate per l'eventualità banalità della questione.
Risposte
La definizione di sottoinsieme è corretta.
La definizione di sottoinsieme stretto no, per niente. Il primo motivo è notazionale: in qualunque testo di Matematica il quantificatore esistenziale si denota con $\exists$, mentre $\exists !$ denota l'esistenza e l'unicità, ed il fatto che tu inverta la notazione potrebbe generare confusione nei tuoi studenti quando poi useranno altri testi. Il secondo motivo è che la condizione $x \in A, x \notin B$ è necessaria ma non sufficiente per avere una inclusione stretta.
Esempio: $A={1,2}$ e $B={2,3}$. Abbiamo che esiste (almeno) un elemento di $A$ che non è elemento di $B$, ma $B$ non è contenuto in $A$, poiché $3 \notin A$.
Allora la definizione corretta è:
$B \subset A \iff (B\subseteq A \wedge B!=A)$.
A questo punto puoi ricorrere al principio di equiestensione ($X=Y \iff \forall x, x \in X \iff x \in Y$) e passare, attraverso semplici calcoli proposizionali, alla formulazione
$B\subset A \iff (B\subseteq A \wedge \exists x : x \in A \wedge x \notin B)$.
A questo punto nell'esercizio proposto sono entrambe vere la 1) e la 2).
La definizione di sottoinsieme stretto no, per niente. Il primo motivo è notazionale: in qualunque testo di Matematica il quantificatore esistenziale si denota con $\exists$, mentre $\exists !$ denota l'esistenza e l'unicità, ed il fatto che tu inverta la notazione potrebbe generare confusione nei tuoi studenti quando poi useranno altri testi. Il secondo motivo è che la condizione $x \in A, x \notin B$ è necessaria ma non sufficiente per avere una inclusione stretta.
Esempio: $A={1,2}$ e $B={2,3}$. Abbiamo che esiste (almeno) un elemento di $A$ che non è elemento di $B$, ma $B$ non è contenuto in $A$, poiché $3 \notin A$.
Allora la definizione corretta è:
$B \subset A \iff (B\subseteq A \wedge B!=A)$.
A questo punto puoi ricorrere al principio di equiestensione ($X=Y \iff \forall x, x \in X \iff x \in Y$) e passare, attraverso semplici calcoli proposizionali, alla formulazione
$B\subset A \iff (B\subseteq A \wedge \exists x : x \in A \wedge x \notin B)$.
A questo punto nell'esercizio proposto sono entrambe vere la 1) e la 2).
Grazie WiZaRd, il problema risiedeva proprio nel modo in cui consideravo la "mia" condizione (quella errata). Adesso è chiaro, effettivamente scrivendo come suggerisci è tutto molto più lineare di quanto avessi fatto io.
Forse non riesco a visualizzare correttamente soltanto io... chiedo per sicurezza.
Quando scrivi:
$B \subset A \iff (B\subseteq A \wedge B!=A)$
e
$B\subset A \iff (B\subseteq A \wedge \exists x : x \in A \wedge x \notin B)$.
il simbolo $\wedge$ (che io vedo, non so perchè, come un quadratino) è in realtà un AND, da come ho visto con LaTeX.
Per cui sarebbe:
$B \subset A \iff (B\subseteq A \mbox{ AND } B!=A)$
$B\subset A \iff (B\subseteq A \mbox{ AND } \exists x : x \in A \mbox{ AND } x \notin B)$.
Forse non riesco a visualizzare correttamente soltanto io... chiedo per sicurezza.
Quando scrivi:
$B \subset A \iff (B\subseteq A \wedge B!=A)$
e
$B\subset A \iff (B\subseteq A \wedge \exists x : x \in A \wedge x \notin B)$.
il simbolo $\wedge$ (che io vedo, non so perchè, come un quadratino) è in realtà un AND, da come ho visto con LaTeX.
Per cui sarebbe:
$B \subset A \iff (B\subseteq A \mbox{ AND } B!=A)$
$B\subset A \iff (B\subseteq A \mbox{ AND } \exists x : x \in A \mbox{ AND } x \notin B)$.
risolto, grazie ancora 
Di niente. E' stato un piacere.
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