\(\text{Aut}_{\le}(2^{\mathbb N})\) è il gruppo banale?

[killing_buddha]

Dimostrate o confutate che \(\text{Aut}_{\le}(2^{\mathbb N}) = \{\text{id}_{2^{\mathbb N}}\}\), dove per un insieme parzialmente ordinato $P$ si intende \(\text{Aut}_\le(P)\) l'insieme delle biiezioni monotòne -o antitòne- di $P$.

[j18eos]

Simpatico esercizio;

ho scritto la prima cosa che mi è venuta in mente.

Identificando \(\displaystyle2^{\mathbb{N}}\) con l'insieme delle funzioni da \(\displaystyle\mathbb{N}\) a \(\displaystyle\{0,1\}\); sappiamo che quest'ultimo è in biezione con \(\displaystyle\mathscr{P}(\mathbb{N})\), l'insieme della parti di \(\displaystyle\mathbb{N}\), e questi è un insieme parzialmente ordinato rispetto all'inclusione tra i suoi elementi.

Per esattezza, la biezione \(\displaystyle\beta:S\in\mathscr{P}(\mathbb{N})\to\chi_S\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}\), ove \(\displaystyle\chi_S\) è la funzione caratteristica di \(\displaystyle S\), permette di indurre su \(\displaystyle2^{\mathbb{N}}\) una relazione d'ordine parziale!

Sia \(\displaystyle f\in\mathrm{Aut}_{\leq}\left(2^{\mathbb{N}}\right)\); utilizzando l'identificazione di prima, sappiamo per definizione che \(\displaystyle f(\emptyset)=\emptyset,\,f(\mathbb{N})=\mathbb{N}\). Siano \(\displaystyle m\neq n\in\mathbb{N}\), e si definisca
\[
\forall S\in\mathscr{P}(\mathbb{N}),\,f(S)=\begin{cases}
S\iff m,n\notin S\,\text{oppure}\,m,n\in S\\
(S\setminus\{m\})\cup\{n\}\iff m\in S,n\notin S\\
(S\setminus\{n\})\cup\{m\}\iff n\in S,m\notin S
\end{cases}.
\]
Si dimostra con semplici calcoli che \(\displaystyle f\neq\mathrm{Id}_{2^{\mathbb{N}}}\in\mathrm{Aut}_{\leq}\left(2^{\mathbb{N}}\right)\).

[killing_buddha]

La tua funzione non è definita su $\{m,n\}$ (e su tutti i suoi sovrainsiemi)...

[j18eos]

Fissato l'errore!

[otta96]

Io non ho capito che ordine ci metti, quello lessicografico? Quello indotto dalla biezione con $P(NN) $? Altro?

[killing_buddha]

"otta96":Io non ho capito che ordine ci metti, quello lessicografico? Quello indotto dalla biezione con $P(NN) $? Altro?

La categoria dei poset è cartesiana chiusa; in altre parole, esiste una biiezione
\[
{\bf Pos}(X\times Y,Z)\cong {\bf Pos}(X, [Y,Z])
\] dove a destra il poset $[Y,Z]$ è l'insieme delle funzioni monotòne $f : Y \to Z$, dove $f \le g$ non appena $\forall y\in Y : f(y) \le g(y)$. Vedi qui all'inizio di §2.

[Studente Anonimo]

"killing_buddha":La categoria dei poset è cartesiana chiusa

In altre parole: sì l'inclusione

Uno potrebbe prendere $f:P(NN) to P(NN)$ dato da $f(X)=NN-X$, mi sembra un anti-isomorfismo.

[otta96]

È la stessa cosa che avevo pensato anche io.

[j18eos]

"otta96":Io non ho capito che ordine ci metti...

Ho specificato chi e come...

[killing_buddha]

"otta96":Io non ho capito che ordine ci metti, quello lessicografico? Quello indotto dalla biezione con $P(NN) $? Altro?

Mi ero dimenticato di questa domanda; pensavo che qui si chiedesse che ordine metto su $\text{Aut}_\le(P)$.

Invece, ora, è possibile contare quanti ce ne sono di preciso di questi automorfismi?

[j18eos]

Utilizzando il mio ragionamento, e generalizzandolo a \(\displaystyle k\)-ple di numeri naturali, si può costruire una iniezione da \(\displaystyle\mathbb{N}^{(\mathbb{N})}\) in \(\displaystyle\mathrm{Aut}_{\leq}\left(2^{\mathbb{N}}\right)\).

Altro non saprei dire...