Tesi di triennale sulla teoria di Galois o teoria algebrica dei numeri
Ciao a tutti!
Quest'anno mi laureo alla triennale di matematica, e sto cercando un'idea per l'argomento di tesi (di algebra o teoria dei numeri). Premetto che ho seguito un corso di algebra "generale" e sto seguendo corsi di teoria dei gruppi e teoria di Galois.
L'ultimo in particolare mi appassiona. Vorrei chiedere un consiglio e magari qualche spunto.
Avevo iniziato a guardare qualcosa sulla teoria analitica dei numeri (leggendo un po' l'Apostol), ma preferirei qualcosa che usi strumenti 'più algebrici'. Ci sono argomenti di teoria algebrica dei numeri o di teoria di Galois che possono andare bene per una tesi di triennale, senza essere troppo "banali" ?
So che la domanda è un po' generica, ma spero in qualche consiglio che mi indirizzi verso qualcosa di più specifico.
Grazie mille a chiunque vorrà rispondermi!
Ps: cercando un po' ho trovato diversi argomenti che sembrano interessanti, tipo curve ellittiche (che se non sbaglio sono ciò su cui ha lavorato Wiles); temo però che siano troppo difficili per ora. Oppure qualcosa sui polinomi ciclotomici, magari di originale...
Quest'anno mi laureo alla triennale di matematica, e sto cercando un'idea per l'argomento di tesi (di algebra o teoria dei numeri). Premetto che ho seguito un corso di algebra "generale" e sto seguendo corsi di teoria dei gruppi e teoria di Galois.
L'ultimo in particolare mi appassiona. Vorrei chiedere un consiglio e magari qualche spunto.
Avevo iniziato a guardare qualcosa sulla teoria analitica dei numeri (leggendo un po' l'Apostol), ma preferirei qualcosa che usi strumenti 'più algebrici'. Ci sono argomenti di teoria algebrica dei numeri o di teoria di Galois che possono andare bene per una tesi di triennale, senza essere troppo "banali" ?
So che la domanda è un po' generica, ma spero in qualche consiglio che mi indirizzi verso qualcosa di più specifico.
Grazie mille a chiunque vorrà rispondermi!
Ps: cercando un po' ho trovato diversi argomenti che sembrano interessanti, tipo curve ellittiche (che se non sbaglio sono ciò su cui ha lavorato Wiles); temo però che siano troppo difficili per ora. Oppure qualcosa sui polinomi ciclotomici, magari di originale...
Risposte
A me è sempre piaciuto il teorema di densità di Chebotarev, che è un teorema di teoria dei numeri basato sulla teoria di Galois. L'idea di tale teorema è che i primi p tali che un certo polinomio si decompone in una data struttura modulo p sono "tanti quanti" gli elementi di tale struttura ciclica nel gruppo di Galois pensato come sottogruppo del gruppo simmetrico di grado il grado del polinomio. Tale risultato era già stato mostrato da Frobenius e Dedekind ma Chebotarev ci ha costruito un po' di teoria dimostrandolo in casi più generali. Vedi qui per una nota introduttiva di Lenstra.
Se ti servono idee su cosa fare ti consiglio fortemente di dare un'occhiata alla (comprensibile!) dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat (dimostrato da Wiles) scritta da Nigel Boston qui. Per esempio vedi pagina xxxiii: $G_{\mathbb{Q}_p}$ è prorisolubile. Credo che mostrare un risultato del genere sia ottimo per una laurea triennale.
Se ti servono idee su cosa fare ti consiglio fortemente di dare un'occhiata alla (comprensibile!) dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat (dimostrato da Wiles) scritta da Nigel Boston qui. Per esempio vedi pagina xxxiii: $G_{\mathbb{Q}_p}$ è prorisolubile. Credo che mostrare un risultato del genere sia ottimo per una laurea triennale.
@ Martino: grazie mille! Sembrano idee molto interessanti!
Comunque, se qualcuno ha qualche altro consiglio, si faccia pure avanti, lo leggerò con piacere
Comunque, se qualcuno ha qualche altro consiglio, si faccia pure avanti, lo leggerò con piacere
Stavo parlando dell'argomento con un ragazzo che fa il dottorato (sempre in Matematica), e secondo lui si può fare un tesi sulle curve ellittiche, in quanto i concetti di base (a suo parere) non sono così complessi. Purtroppo non è stato in grado di darmi un suggerimento preciso. Qualcuno può suggerirmi qualcosa in merito?
Grazie mille
Grazie mille
Si tratterebbe di conoscere la teoria delle curve algebriche (proiettive) piane(, lisce e di grado \(\displaystyle3\)); argomenti che si possono esporre in poche lezioni, alla fine di un (primo) corso di geometria algebrica, al terzo anno di matematica.
Se vuoi un testo: Klaus Hulek - An Elementary Introduction to Algebraic Geometry (o simile), le spiega benissimo in uno o due capitolo finali.
Se vuoi un testo: Klaus Hulek - An Elementary Introduction to Algebraic Geometry (o simile), le spiega benissimo in uno o due capitolo finali.
@ j18eos: grazie mille!
Hai per caso qualche argomento specifico che possa andare per la tesi?
Hai per caso qualche argomento specifico che possa andare per la tesi?
Premesso che non ho mai studiato per bene le curve ellittiche[nota]...essendo stato impegnato con le superfici di Riemann! Ma devo rimediare perché mi servono.[/nota] e nemmeno la teoria algebrica dei numeri[nota]che (per adesso) manco m'interessa![/nota] non ti saprei dire nulla di concreto per una tesi triennale; cioè, saprei dirti qualcosa riguardo all'interplay tra la teoria di Galois e i rivestimenti in topologia algebrica, e come questo si possa riproporre in geometria algebrica: ma sono argomenti molto avanzati.
Facendo una ricerca su google, ho capito che potresti scrivere una tesi in cui spieghi come le curve ellittiche si colleghino alla teoria di Galois, a partire dal problema inverso di Galois; oltre non ti saprei indicare via concretizzabili...
UPDATE: Puoi tranquillamente parlare delle curve ellittiche senza passare per la geometria algebrica; ti bastano l'analisi complessa e la geometria differenziale complessa di base.
Non so quanto tu sappia o debba sapere di questi argomenti!
Facendo una ricerca su google, ho capito che potresti scrivere una tesi in cui spieghi come le curve ellittiche si colleghino alla teoria di Galois, a partire dal problema inverso di Galois; oltre non ti saprei indicare via concretizzabili...
UPDATE: Puoi tranquillamente parlare delle curve ellittiche senza passare per la geometria algebrica; ti bastano l'analisi complessa e la geometria differenziale complessa di base.
Non so quanto tu sappia o debba sapere di questi argomenti!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo