Terne pitagorica primitiva e dimostrazione per assurdo
Terne pitagorica primitiva e dimostrazione per assurdo (secondo voi è giusto ?)
Diamo per certo che in una terna pitagorica primitiva , $a^2 +b^2 = c^2$
, il prodotto dei due cateti , $ a*b$ , è sempre divisibile per $12$ ;
essendo divisibile per $12$ lo saranno anche per $3$ e per $4$ (giusto ?)
Costruito l’insieme $A$$={x|x= 3* k vv x= 4* k vv x= 12* k , kin(NN-{0})}$
, costituito da 3 e da tutti i suoi multipli , da 4 e da tutti i suoi multipli e da 12 e da tutti i suoi multipli ;
Costruito l’insieme complementare di $A$ rispetto ad $NN$ ,
chiamandolo $B$$=$$(NN\\(A))$$={x in NN|x!=3*k^^x!=2*k ^^x!=12*k,kin(NN-{1})}$
Vogliamo comprovare che si può avere una terna pitagorica primitiva (tesi) solo e solo se $ a*b$ , è sempre divisibile per uno degli elementi di $A$ (ipotesi) .
Ipotizzo , per assurdo , che una terna pitagorica primitiva si possa avere solo e solo se $ a*b$ , è sempre divisibile per uno degli elementi di $B$ .
Ma trovo un contro esempio , nella terna primitiva $3, 4, 5$ , che invalida la nostra ipotesi :
$12$ , infatti , è divisibile solo per $3$ , $4$ e $12$ stesso , tutti elementi dell’insieme $A$ .
C.V.D. , giusto ?
Diamo per certo che in una terna pitagorica primitiva , $a^2 +b^2 = c^2$
, il prodotto dei due cateti , $ a*b$ , è sempre divisibile per $12$ ;
essendo divisibile per $12$ lo saranno anche per $3$ e per $4$ (giusto ?)
Costruito l’insieme $A$$={x|x= 3* k vv x= 4* k vv x= 12* k , kin(NN-{0})}$
, costituito da 3 e da tutti i suoi multipli , da 4 e da tutti i suoi multipli e da 12 e da tutti i suoi multipli ;
Costruito l’insieme complementare di $A$ rispetto ad $NN$ ,
chiamandolo $B$$=$$(NN\\(A))$$={x in NN|x!=3*k^^x!=2*k ^^x!=12*k,kin(NN-{1})}$
Vogliamo comprovare che si può avere una terna pitagorica primitiva (tesi) solo e solo se $ a*b$ , è sempre divisibile per uno degli elementi di $A$ (ipotesi) .
Ipotizzo , per assurdo , che una terna pitagorica primitiva si possa avere solo e solo se $ a*b$ , è sempre divisibile per uno degli elementi di $B$ .
Ma trovo un contro esempio , nella terna primitiva $3, 4, 5$ , che invalida la nostra ipotesi :
$12$ , infatti , è divisibile solo per $3$ , $4$ e $12$ stesso , tutti elementi dell’insieme $A$ .
C.V.D. , giusto ?
Risposte
Ciao Gi8, ecco cosa intendevo dire :
in base alle seguenti formule
$a=m^2-n^2$
$b=2mn$
$c=m^2+n^2$
se ipotizzassi , per assurdo , che esistono infinite terne pitagoriche , di cui una sola “primitiva” e tutte le altre infinite come “derivate” da quell’unica primitiva , ciò non implicherebbe l’impossibilità di trovare , oltre che per quell’unica terna primitiva , due interi $m$ ed $n$ coprimi , non entrambi dispari, con $m>n$ ?
ma se è impossibile trovare due interi $m$ ed $n$ in $NN$ primi tra loro , allora il numero dei primi non è infinito ma finito ?!
Quindi le terne pitagoriche primitive devono essere infinite , giusto ?
in base alle seguenti formule
$a=m^2-n^2$
$b=2mn$
$c=m^2+n^2$
se ipotizzassi , per assurdo , che esistono infinite terne pitagoriche , di cui una sola “primitiva” e tutte le altre infinite come “derivate” da quell’unica primitiva , ciò non implicherebbe l’impossibilità di trovare , oltre che per quell’unica terna primitiva , due interi $m$ ed $n$ coprimi , non entrambi dispari, con $m>n$ ?
ma se è impossibile trovare due interi $m$ ed $n$ in $NN$ primi tra loro , allora il numero dei primi non è infinito ma finito ?!
Quindi le terne pitagoriche primitive devono essere infinite , giusto ?
Non è necessario scomodare l'infinità dei numeri primi per dimostrare questa proposizione.
Basta esibire infinite coppie distinte di $(m,n)$ coprimi, non emntrambi dispari.
E' sufficiente prendere $(m,n)=(2k,1)$ con $k in NN-{0}$. Ecco, queste sono infinite coppie. Fine.
Se posso permettermi uno sfogo,
apprezzo il tuo amore per la matematica, ma stai un po' esagerando:
vuoi dimostrare delle cose anche molto semplici facendo dei ragionamenti contorti e lunghi.
Imparare a dimostrare le cose non è semplice. Richiede tempo e, soprattutto, qualcuno che te lo insegni.
Basta esibire infinite coppie distinte di $(m,n)$ coprimi, non emntrambi dispari.
E' sufficiente prendere $(m,n)=(2k,1)$ con $k in NN-{0}$. Ecco, queste sono infinite coppie. Fine.
Se posso permettermi uno sfogo,
apprezzo il tuo amore per la matematica, ma stai un po' esagerando:
vuoi dimostrare delle cose anche molto semplici facendo dei ragionamenti contorti e lunghi.
Imparare a dimostrare le cose non è semplice. Richiede tempo e, soprattutto, qualcuno che te lo insegni.
Puoi permetteti uno più di uno "sfogo" .. , ma non pensavo di "stressarti" troppo 
scusa se sono stata in qualche modo "fastidiosa" , non era mia intenzione ..
scusa se sono stata in qualche modo "fastidiosa" , non era mia intenzione ..
Ciao , ti sono mancate le mie acute considerazioni ?
.. lo so .. persone come te..dovrebbero esserci in ogni angolo della Terra...
.. fortunatamente è rotonda! ..
ahah ( scherzo)
Senti volevo chiederti le seguenti :
1)l'enunciato : “Per ogni multiplo positivo di $4$ c'è almeno una terna Pitagorica primitiva a cui esso appartiene”, può essere espresso come
“Per ogni intero positivo $k$ divisibile per $4$ c'è almeno una terna Pitagorica primitiva a cui esso appartiene” ?
Penso (pensare è una parola grossa ) di si perché mi sembra forma equivalente ,
ma aspetto una tua conferma o smentita ;
2)per il teorema di fermat-wiles le seguenti relazioni non possono esistere
$a^3 +b^3 = c^3$ ,
$a^4 +b^4 = c^4$ ,
e cosi via
ma se ipoteticamente esistessero varrebbe come per le terne pitagoriche
il metodo di moltiplicare tutti i numeri della terna per uno stesso intero k per ottenere , da una terna primitiva ,
una terna derivata (oppure da una derivata un altra derivata "seconda") ?
$a^2 +b^2 = c^2$ ----------> $(ka)^2 +(kb)^2 = (kc)^2$
$a^3 +b^3 = c^3$ ----------> $(ka)^3 +(kb)^3 = (kc)^3$
$a^4 +b^4 = c^4$ ----------> $(ka)^4 +(kb)^4 = (kc)^4$
Anche in questo caso credo di si , ma senza il tuo parere non mi sbilancio ..
.. lo so .. persone come te..dovrebbero esserci in ogni angolo della Terra...
.. fortunatamente è rotonda! ..
ahah ( scherzo)Senti volevo chiederti le seguenti :
1)l'enunciato : “Per ogni multiplo positivo di $4$ c'è almeno una terna Pitagorica primitiva a cui esso appartiene”, può essere espresso come
“Per ogni intero positivo $k$ divisibile per $4$ c'è almeno una terna Pitagorica primitiva a cui esso appartiene” ?
Penso (pensare è una parola grossa
) di si perché mi sembra forma equivalente , ma aspetto una tua conferma o smentita ;
2)per il teorema di fermat-wiles le seguenti relazioni non possono esistere
$a^3 +b^3 = c^3$ ,
$a^4 +b^4 = c^4$ ,
e cosi via
ma se ipoteticamente esistessero varrebbe come per le terne pitagoriche
il metodo di moltiplicare tutti i numeri della terna per uno stesso intero k per ottenere , da una terna primitiva ,
una terna derivata (oppure da una derivata un altra derivata "seconda") ?
$a^2 +b^2 = c^2$ ----------> $(ka)^2 +(kb)^2 = (kc)^2$
$a^3 +b^3 = c^3$ ----------> $(ka)^3 +(kb)^3 = (kc)^3$
$a^4 +b^4 = c^4$ ----------> $(ka)^4 +(kb)^4 = (kc)^4$
Anche in questo caso credo di si , ma senza il tuo parere non mi sbilancio ..
"Susannap":
Ciao , ti sono mancate le mie acute considerazioni ?
.. lo so .. persone come te..dovrebbero esserci in ogni angolo della Terra...
.. fortunatamente è rotonda! ..
"Susannap":Certamente sì! "Dvisibile" e "multiplo" sono equivalenti.
1)l'enunciato : “Per ogni multiplo positivo di $4$ c'è almeno una terna Pitagorica primitiva a cui esso appartiene”, può essere espresso come
“Per ogni intero positivo $k$ divisibile per $4$ c'è almeno una terna Pitagorica primitiva a cui esso appartiene” ?
"Susannap":Tutto corretto
2)per il teorema di fermat-wiles le seguenti relazioni non possono esistere
$a^3 +b^3 = c^3$ ,
$a^4 +b^4 = c^4$ ,
e cosi via
ma se ipoteticamente esistessero varrebbe come per le terne pitagoriche
il metodo di moltiplicare tutti i numeri della terna per uno stesso intero k per ottenere , da una terna primitiva ,
una terna derivata (oppure da una derivata un altra derivata "seconda") ?
$a^2 +b^2 = c^2$ ----------> $(ka)^2 +(kb)^2 = (kc)^2$
$a^3 +b^3 = c^3$ ----------> $(ka)^3 +(kb)^3 = (kc)^3$
$a^4 +b^4 = c^4$ ----------> $(ka)^4 +(kb)^4 = (kc)^4$
Anche in questo caso credo di si , ma senza il tuo parere non mi sbilancio ..
Alè-o o , ' alè-o o ..' 
adesso sicuramente mi candinano per la medaglia Fields .. ahah
adesso sicuramente mi candinano per la medaglia Fields .. ahah
Toc , toc , .. ci sei Gi8 ?
.. eccomi qua ! .. ciaoo 
Vorrei porti una “sciocchezzuola ” di domandina , (giusto per non smentirmi mai ) .
Se fosse ipoteticamente possibile distinguere tutte le potenze $c^n$ , dove $c$ ed $n$ sono interi positivi , in funzione di una altrettanto ipotetica caratteristica , che chiamerò $y$ ;
Volendo dimostrare che solo quelle potenze che hanno questa “fantomatica” caratteristica $y$ ,
possono scriversi come somme di due altre n-esime potenze $ c^n = a^n +b^n $ , come dovrei impostare l’enunciato , l’ipotesi e la tesi , magari utilizzando la dimostrazione per assurdo (giusto per rimanere in tema ) ..
p-s. : ovviamente puoi usare anche altre procedimenti dimostrativi diversi da quello per assurdo ..
.. eccomi qua !
.. ciaoo Vorrei porti una “sciocchezzuola ” di domandina , (giusto per non smentirmi mai ) .
Se fosse ipoteticamente possibile distinguere tutte le potenze $c^n$ , dove $c$ ed $n$ sono interi positivi , in funzione di una altrettanto ipotetica caratteristica , che chiamerò $y$ ;
Volendo dimostrare che solo quelle potenze che hanno questa “fantomatica” caratteristica $y$ ,
possono scriversi come somme di due altre n-esime potenze $ c^n = a^n +b^n $ , come dovrei impostare l’enunciato , l’ipotesi e la tesi , magari utilizzando la dimostrazione per assurdo (giusto per rimanere in tema ) ..
p-s. : ovviamente puoi usare anche altre procedimenti dimostrativi diversi da quello per assurdo ..
Se non ho capito male, vuoi sapere che caratteristica devono avere $c$ e/o $n$ affinchè $EE a,b in NN$ tali che $c^n=a^n+b^n$
Giusto?
Per il teorema di Fermat non esistono $c^n=a^n+b^n$ con $n>=3$.
Del caso $n=2$ abbiamo già lungamente parlato qui.
Rimane il caso $n=1$, direi ben poco interessante
Giusto?
Per il teorema di Fermat non esistono $c^n=a^n+b^n$ con $n>=3$.
Del caso $n=2$ abbiamo già lungamente parlato qui.
Rimane il caso $n=1$, direi ben poco interessante
Mettiamo il caso che ipoteticamente $EE$ una caratteristica $y$ che spiega il perché per il teorema di Fermat-Wiles non esistono $c^n=a^n+b^n$ con $n>=3$n;
tale caratteristica è propria solo di $c^1$ e di $c^2$ .
Come si dovrebbe impostare l’enunciato , l’ipotesi , la dimostrazione e la tesi ?
p.s. : Questa caratteristica al momento non esiste o meglio non la conosciamo , ma il fatto che fino ad ora nessuno l’abbia trovata non implica che non ci sia , quindi potrebbe anche esistere .. , per questo parlo “ipoteticamente ” e la chiamo $y$ .
tale caratteristica è propria solo di $c^1$ e di $c^2$ .
Come si dovrebbe impostare l’enunciato , l’ipotesi , la dimostrazione e la tesi ?
p.s. : Questa caratteristica al momento non esiste o meglio non la conosciamo , ma il fatto che fino ad ora nessuno l’abbia trovata non implica che non ci sia , quindi potrebbe anche esistere .. , per questo parlo “ipoteticamente ” e la chiamo $y$ .
Praticamente vuoi avere lumi sulla dimostrazione del teorema di Fermat-Wiles.Non so se te ne rendi conto
I lumi non non li ho trovati .. una torcia elettrica è lo stesso ?
Ebbenè si ..Tana !
mi hai scoperta 
..
vorrei condividere con te l’orizzonte matematico ed il suo infinito .. contento ?! …..
però se non ti va ?! ..
magariiii dici tu .. !
io non vedo (in matematica) neanche le orme guardando all'indietro..
pensa l’orrizonte ed il suo infinito ..
Cmq devi stare attento con i tuoi sogni, perché corri il rischio che si avverano.
Ma se tale caratteristica “y” esistesse come occorrerebbe procedere con l'ipotesi , l'enunciato , la dimostrazione .. etc ..
fai finta che "y" esista
Ebbenè si ..Tana !
mi hai scoperta .. vorrei condividere con te l’orizzonte matematico ed il suo infinito .. contento ?! …..
però se non ti va ?! ..
magariiii dici tu .. !
io non vedo (in matematica) neanche le orme guardando all'indietro..
pensa l’orrizonte ed il suo infinito ..
Cmq devi stare attento con i tuoi sogni, perché corri il rischio che si avverano.
Ma se tale caratteristica “y” esistesse come occorrerebbe procedere con l'ipotesi , l'enunciato , la dimostrazione .. etc ..
fai finta che "y" esista
"Susannap":Susanna, ti avviso che purtroppo le questioni che sollevi non hanno contenuto matematico. Il fatto che riduci la "spiegazione" (dimostrazione) del teorema di Fermat ad una cosa che tu chiami "caratteristica" è una mera questione di linguaggio. Chiamare una dimostrazione in un altro modo non la semplifica di una virgola. Te lo dico per evitare che cominci una discussione inutile. Ciò naturalmente non toglie che ammiro molto il tuo entusiasmo, ma ti prego di cercare di approfondire di più le cose di cui parli. Ciao
Mettiamo il caso che ipoteticamente $EE$ una caratteristica $y$ che spiega il perché per il teorema di Fermat-Wiles non esistono $c^n=a^n+b^n$ con $n>=3$n;
tale caratteristica è propria solo di $c^1$ e di $c^2$ .
Come si dovrebbe impostare l’enunciato , l’ipotesi , la dimostrazione e la tesi ?
p.s. : Questa caratteristica al momento non esiste o meglio non la conosciamo , ma il fatto che fino ad ora nessuno l’abbia trovata non implica che non ci sia , quindi potrebbe anche esistere .. , per questo parlo “ipoteticamente ” e la chiamo $y$ .
Ciaoo Martino .. scusami 
..
Però se ci pensi bene prima di impostare una dimostrazione "consistente" , occorre lavorare di fantasia e farsi venire un ' idea , e le idee possoo sorgere anche (e forse meglio) parlandone con qualcuno ..
La mia è una considerazione opinabile (d'altronte non è la prima volta che sbaglio .. purtroppo 
)
Cmq sono contenta di risentirti .
.. scusami ..Però se ci pensi bene prima di impostare una dimostrazione "consistente" , occorre lavorare di fantasia e farsi venire un ' idea , e le idee possoo sorgere anche (e forse meglio) parlandone con qualcuno ..
La mia è una considerazione opinabile (d'altronte non è la prima volta che sbaglio
.. purtroppo ) Cmq sono contenta di risentirti
.
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