Terne pitagorica primitiva e dimostrazione per assurdo
Terne pitagorica primitiva e dimostrazione per assurdo (secondo voi è giusto ?)
Diamo per certo che in una terna pitagorica primitiva , $a^2 +b^2 = c^2$
, il prodotto dei due cateti , $ a*b$ , è sempre divisibile per $12$ ;
essendo divisibile per $12$ lo saranno anche per $3$ e per $4$ (giusto ?)
Costruito l’insieme $A$$={x|x= 3* k vv x= 4* k vv x= 12* k , kin(NN-{0})}$
, costituito da 3 e da tutti i suoi multipli , da 4 e da tutti i suoi multipli e da 12 e da tutti i suoi multipli ;
Costruito l’insieme complementare di $A$ rispetto ad $NN$ ,
chiamandolo $B$$=$$(NN\\(A))$$={x in NN|x!=3*k^^x!=2*k ^^x!=12*k,kin(NN-{1})}$
Vogliamo comprovare che si può avere una terna pitagorica primitiva (tesi) solo e solo se $ a*b$ , è sempre divisibile per uno degli elementi di $A$ (ipotesi) .
Ipotizzo , per assurdo , che una terna pitagorica primitiva si possa avere solo e solo se $ a*b$ , è sempre divisibile per uno degli elementi di $B$ .
Ma trovo un contro esempio , nella terna primitiva $3, 4, 5$ , che invalida la nostra ipotesi :
$12$ , infatti , è divisibile solo per $3$ , $4$ e $12$ stesso , tutti elementi dell’insieme $A$ .
C.V.D. , giusto ?
Diamo per certo che in una terna pitagorica primitiva , $a^2 +b^2 = c^2$
, il prodotto dei due cateti , $ a*b$ , è sempre divisibile per $12$ ;
essendo divisibile per $12$ lo saranno anche per $3$ e per $4$ (giusto ?)
Costruito l’insieme $A$$={x|x= 3* k vv x= 4* k vv x= 12* k , kin(NN-{0})}$
, costituito da 3 e da tutti i suoi multipli , da 4 e da tutti i suoi multipli e da 12 e da tutti i suoi multipli ;
Costruito l’insieme complementare di $A$ rispetto ad $NN$ ,
chiamandolo $B$$=$$(NN\\(A))$$={x in NN|x!=3*k^^x!=2*k ^^x!=12*k,kin(NN-{1})}$
Vogliamo comprovare che si può avere una terna pitagorica primitiva (tesi) solo e solo se $ a*b$ , è sempre divisibile per uno degli elementi di $A$ (ipotesi) .
Ipotizzo , per assurdo , che una terna pitagorica primitiva si possa avere solo e solo se $ a*b$ , è sempre divisibile per uno degli elementi di $B$ .
Ma trovo un contro esempio , nella terna primitiva $3, 4, 5$ , che invalida la nostra ipotesi :
$12$ , infatti , è divisibile solo per $3$ , $4$ e $12$ stesso , tutti elementi dell’insieme $A$ .
C.V.D. , giusto ?
Risposte
"Susannap":
Terne pitagorica primitiva e dimostrazione per assurdo (secondo voi è giusto ?)
Diamo per certo che in una terna pitagorica primitiva , $a^2 +b^2 = c^2$
, il prodotto dei due cateti , $ a*b$ , è sempre divisibile per $12$ ;
essendo divisibile per $12$ lo saranno anche per $3$ e per $4$ (giusto ?)
...
Come fai a dire che $a*b$ è divisibile per $12$?
E' una cosa già dimostrata (anche se io non te lo sò dimostrare ) , infatti ho premesso " Diamo per certo in una terna pitagorica primitiva che il prodotto dei due cateti dei due cateti è sempre divisibile per 12" ..
Faccio molta fatica a capire l'enunciato del tuo "teorema":
se non ho capito male, è il seguente:
Ma ciò non è vero: prendi $a=3$, $b=1$.
Hai $ab=3$, che è divisibile per $3 in A$.
Ma $c=sqrt(10)notin NN$, quindi $(a,b,c)$ non è una terna Pitagorica.
Ma magari ho capito male l'enunciato.
@Mrhaha: la dimostrazione del fatto che $ab$ è divisibile per $12$ non è molto difficile, anche se non brevissima,
se non si conoscono alcune proprietà delle terne Pitagoriche. Se vuoi posso scriverti i punti importanti della dimostrazione, così puoi provare a farla.
se non ho capito male, è il seguente:
Se $ab$ è divisibile per uno degli elementi di $A$, allora $(a,b,c)$ (dove $c=sqrt(a^2+b^2)$) è una terna Pitagorica
Ma ciò non è vero: prendi $a=3$, $b=1$.
Hai $ab=3$, che è divisibile per $3 in A$.
Ma $c=sqrt(10)notin NN$, quindi $(a,b,c)$ non è una terna Pitagorica.
Ma magari ho capito male l'enunciato.
@Mrhaha: la dimostrazione del fatto che $ab$ è divisibile per $12$ non è molto difficile, anche se non brevissima,
se non si conoscono alcune proprietà delle terne Pitagoriche. Se vuoi posso scriverti i punti importanti della dimostrazione, così puoi provare a farla.
@Gi8 mi farebbe davvero molto piacere,sempre che per te non sia un problema!
Allora,
Nel seguito, quando scrivo la terna Pitagorica $(a,b,c)$ intendo con $a$ il cateto dispari, con $b$ il cateto pari e con $c$ l'ipotenusa, che sarà nesessariamente un numero dispari (è una conseguenza del teorema 1)
conviene scrivere $a$ come $m^2-n^2$ e $b$ come $2mn$. Si dimostra che $ab$ è divisibile per $4$, poi che è divisibile per $3$, da cui la divisibilità per $12$
Se non mi sono spiegato in modo sufficientemente chiaro, o se hai dei dubbi su come procedere, chiedi pure
"Teorema 1":Il teorema 1 può essere dimostrato abbastanza comodamente per assurdo.
Sia $(a,b,c)$ una terna Pitagorica primitiva ($a,b$ sono i cateti, mentre $c$ è l'ipotenusa).
Allora uno tra $a$ e $b$ è un numero pari, e l'altro è un numero dispari.
Nel seguito, quando scrivo la terna Pitagorica $(a,b,c)$ intendo con $a$ il cateto dispari, con $b$ il cateto pari e con $c$ l'ipotenusa, che sarà nesessariamente un numero dispari (è una conseguenza del teorema 1)
"Teorema 2":Questo è il teorema che rappresenta il cuore del problema.
$(a,b,c)$ è una terna Pitagorica primitiva $<=> EE m,n in NN-{0}$ primi tra loro, non entrambi dispari, con $m>n$, tali che ${(a=m^2-n^2),(b=2mn),(c=m^2+n^2):}$
"Teorema 3":Per dimostrare questo teorema si sfrutta il teorema 2:
Sia $(a,b,c)$ terna Pitagorica primitiva. Allora $ab$ è divisibile per $12$
conviene scrivere $a$ come $m^2-n^2$ e $b$ come $2mn$. Si dimostra che $ab$ è divisibile per $4$, poi che è divisibile per $3$, da cui la divisibilità per $12$
Se non mi sono spiegato in modo sufficientemente chiaro, o se hai dei dubbi su come procedere, chiedi pure
Gi8 Hhi perfettamente ragione ! ..
Avrei dovuto aggiungere i vincoli che $a$ e $b$ devono essere coprimi , maggiori di 1 , ed uno di loro è pari e l'altro dispari ;
infatti , se sia $a$ che $b$ sono dispari (oppure entrambi pari) a, b e c sono pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva .
Quindi l’enunciato dovrebbe essere :
Se $ab$ è divisibile per uno degli elementi di $A$, ed $a$ e $b$ sono maggiori di 1 , coprimi ed uno di loro è pari e l'altro dispari allora $(a,b,c)$ (dove $c=sqrt(a^2+b^2)$) è una terna Pitagorica primitiva .
Secondo te , la dimostrazione che segue tale enunciato è ok ?
Avrei dovuto aggiungere i vincoli che $a$ e $b$ devono essere coprimi , maggiori di 1 , ed uno di loro è pari e l'altro dispari ;
infatti , se sia $a$ che $b$ sono dispari (oppure entrambi pari) a, b e c sono pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva .
Quindi l’enunciato dovrebbe essere :
Se $ab$ è divisibile per uno degli elementi di $A$, ed $a$ e $b$ sono maggiori di 1 , coprimi ed uno di loro è pari e l'altro dispari allora $(a,b,c)$ (dove $c=sqrt(a^2+b^2)$) è una terna Pitagorica primitiva .
Secondo te , la dimostrazione che segue tale enunciato è ok ?
"Susannap":Noti anche tu che c'è qualcosa che non va?
se sia $a$ che $b$ sono dispari... a, b e c sono pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva .
"Susannap":Anche questo enunciato non è corretto.
Quindi l’enunciato dovrebbe essere :
Se $ab$ è divisibile per uno degli elementi di $A$, ed $a$ e $b$ sono maggiori di 1 , coprimi ed uno di loro è pari e l'altro dispari allora $(a,b,c)$ (dove $c=sqrt(a^2+b^2)$) è una terna Pitagorica primitiva .
Secondo te , la dimostrazione che segue tale enunciato è ok ?
Prendi $a=3$, $b=2$. Tutte le ipotesi del teorema sono rispettate ma $c=sqrt13$
Cavolaccioaccioaccio .. anche stavolta hai ragione 
Allora quale potrebbe essere l’enunciato che calza a pennello alla dimostrazione ad esso riferita ?
Non dovrei mica includere anche il vincolo che $a$ e $b$ appartengono ad $A$ , ma se includo tale vincolo nell'enunciato gli altri mi sembrano superflui ..ed il teorema banale .. , secondo te qual'è l'enunciato esatto ?
Allora quale potrebbe essere l’enunciato che calza a pennello alla dimostrazione ad esso riferita ?
Non dovrei mica includere anche il vincolo che $a$ e $b$ appartengono ad $A$ , ma se includo tale vincolo nell'enunciato gli altri mi sembrano superflui ..ed il teorema banale .. , secondo te qual'è l'enunciato esatto ?
E se esprimessi l’enunciato cosi :
Se $ab$ è divisibile per uno degli elementi di $A$, in modo tale che anche $a$ e $b$ siano divisibili per uno degli elementi di $A$ , con $a$ e $b$ maggiori di 1 , coprimi ed uno di loro è pari e l'altro dispari allora $(a,b,c)$ (dove $c=sqrt(a^2+b^2)$) è una terna Pitagorica primitiva .
che ne dici ?
Se $ab$ è divisibile per uno degli elementi di $A$, in modo tale che anche $a$ e $b$ siano divisibili per uno degli elementi di $A$ , con $a$ e $b$ maggiori di 1 , coprimi ed uno di loro è pari e l'altro dispari allora $(a,b,c)$ (dove $c=sqrt(a^2+b^2)$) è una terna Pitagorica primitiva .
che ne dici ?
No, mi spiace ma putroppo non va bene nemmeno questo (controesempio con $a=3$, $b=8$).
Direi che l'enunciato che più si avvicina a quello che vuoi avere tu è il mio teorema 2, che ho scritto nella pagina precedente
Direi che l'enunciato che più si avvicina a quello che vuoi avere tu è il mio teorema 2, che ho scritto nella pagina precedente
uffi' hai ragione
.. adesso vado in cucina ad aiutare a mamma .. che arrivano i parenti .. , domani cerco un nuovo enunciato .. magari raggirando la "frittata" .. ,
intanto buon ferragosto e tantissime grazie
davvero grazie grazie .. ciaoo
.. adesso vado in cucina ad aiutare a mamma .. che arrivano i parenti .. , domani cerco un nuovo enunciato .. magari raggirando la "frittata" .. ,
intanto buon ferragosto e tantissime grazie
davvero grazie grazie .. ciaoo
Prego, figurati. In ogni caso, insisto nel dirti che non si può avere un risultato migliore di questo:
"Teorema 2 modificato":
Siano $a,b in NN-{0}$ tali che
$EE m,n in NN-{0}$ primi tra loro, non entrambi dispari, tali che ${(a=m^2-n^2),(b=2mn):}$
Allora $(a,b,sqrt(a^2+b^2))$ è una terna pitagorica primitiva
ho completamente cambiato enunciato e dimosrazione , cosa ne dici di questo :
Se $k$ è un intero positivo $>2$ sempre divisibile per uno degli elementi di $A$$={x|x= 4* k , kin(NN-{0})}$ , allora $k$ può essere sempre considerato come il cateto maggiore (quello pari) di una terna pitagorica $(a,b,c)$ (dove $c=sqrt(a^2+b^2)$)
e $ b^2=c^2-a^2$ .
Costruito l’insieme complementare di $A$ rispetto ad $NN$ ,
chiamandolo $B$$=$$(NN\\(A))$$={x in NN|x!= 4* k ,kin(NN-{1})}$
Ipotizzo , per assurdo , che $ k$ possa sempre essere il cateto maggiore $b$ di una terna pitagorica
solo e solo se $ k$ , è sempre divisibile per uno degli elementi di $B$ .
Ma trovo un contro esempio , in $ k=6$ .
Se $b=6$ , infatti , la terna $(a,b,c)$ ad essa associata non può essere una terna pitagorica in quanto dimostrato che il cateto maggiore di una terna pitagorica primitiva è sempre divisibile per 4 , di conseguenza anche il cateto maggiore delle terne pitagoriche derivate deve essere sempre divisibile per 4 .
Dunque soso e solo se $k$ è divisibile per uno degli elementi di $A$ , può essere sempre considerato come il cateto maggiore $b$ di una terna pitagorica $(a,b,c)$ . C.V.D.
Sapresti (sicuramente lo saprai
, quindi è meglio dire ptresti , per favore , esprimere meglio l'enunciato e la dimostrazione di tale "teorema" (da 2 soldi)
Se $k$ è un intero positivo $>2$ sempre divisibile per uno degli elementi di $A$$={x|x= 4* k , kin(NN-{0})}$ , allora $k$ può essere sempre considerato come il cateto maggiore (quello pari) di una terna pitagorica $(a,b,c)$ (dove $c=sqrt(a^2+b^2)$)
e $ b^2=c^2-a^2$ .
Costruito l’insieme complementare di $A$ rispetto ad $NN$ ,
chiamandolo $B$$=$$(NN\\(A))$$={x in NN|x!= 4* k ,kin(NN-{1})}$
Ipotizzo , per assurdo , che $ k$ possa sempre essere il cateto maggiore $b$ di una terna pitagorica
solo e solo se $ k$ , è sempre divisibile per uno degli elementi di $B$ .
Ma trovo un contro esempio , in $ k=6$ .
Se $b=6$ , infatti , la terna $(a,b,c)$ ad essa associata non può essere una terna pitagorica in quanto dimostrato che il cateto maggiore di una terna pitagorica primitiva è sempre divisibile per 4 , di conseguenza anche il cateto maggiore delle terne pitagoriche derivate deve essere sempre divisibile per 4 .
Dunque soso e solo se $k$ è divisibile per uno degli elementi di $A$ , può essere sempre considerato come il cateto maggiore $b$ di una terna pitagorica $(a,b,c)$ . C.V.D.
Sapresti (sicuramente lo saprai
, quindi è meglio dire ptresti , per favore , esprimere meglio l'enunciato e la dimostrazione di tale "teorema" (da 2 soldi)
"Gi8":Il teorema 1 può essere dimostrato abbastanza comodamente per assurdo.
Allora,
[quote="Teorema 1"]Sia $(a,b,c)$ una terna Pitagorica primitiva ($a,b$ sono i cateti, mentre $c$ è l'ipotenusa).
Allora uno tra $a$ e $b$ è un numero pari, e l'altro è un numero dispari.
Nel seguito, quando scrivo la terna Pitagorica $(a,b,c)$ intendo con $a$ il cateto dispari, con $b$ il cateto pari e con $c$ l'ipotenusa, che sarà nesessariamente un numero dispari (è una conseguenza del teorema 1)
"Teorema 2":Questo è il teorema che rappresenta il cuore del problema.
$(a,b,c)$ è una terna Pitagorica primitiva $<=> EE m,n in NN-{0}$ primi tra loro, non entrambi dispari, con $m>n$, tali che ${(a=m^2-n^2),(b=2mn),(c=m^2+n^2):}$
"Teorema 3":Per dimostrare questo teorema si sfrutta il teorema 2:
Sia $(a,b,c)$ terna Pitagorica primitiva. Allora $ab$ è divisibile per $12$
conviene scrivere $a$ come $m^2-n^2$ e $b$ come $2mn$. Si dimostra che $ab$ è divisibile per $4$, poi che è divisibile per $3$, da cui la divisibilità per $12$
Se non mi sono spiegato in modo sufficientemente chiaro, o se hai dei dubbi su come procedere, chiedi pure[/quote]
Ti ringrazio,e ora ci rifletterò su!
"Susannap":Bastava dire: "Sia $k$ positivo e multiplodi $4$ "
Se $k$ è un intero positivo $>2$ sempre divisibile per uno degli elementi di $A$$={x|x= 4* k , kin(NN-{0})}$
"Susannap":Occhio. Non è vero che il cateto maggiore è sempre quello pari. Prendi ad esempio $(20,99,101)$
... allora $k$ può essere sempre considerato come il cateto maggiore (quello pari) di una terna pitagorica $(a,b,c)$...
L'enunciato potrebbe essere il seguente:
Per ogni multiplo positivo di $4$ c'è almeno una terna Pitagorica primitiva a cui esso appartieneE' questo che intendevi?
L'enunciato potrebbe essere il seguente: [quote]Per ogni multiplo positivo di $4$ c'è almeno una terna Pitagorica primitiva a cui esso appartieneE' questo che intendevi?[/quote]
Siiii
bene , bravo , ganzo Ma la mia "pseudo dimostrazione" ad esso relativa è giusta ? può andare ?
Senti , tu ristringi ancor di più il campo perche consideri le terne primitive , io ero partita dalla sola terna (3, 4, 5) + le sue derivate ,cmq hai ragione tu .. tutte le terne pitagoriche primitive hanno un cateto divisibile sempre per 4 .
Dimostrandolo nel modo seguente che un cateto deve essere divisibile sempre per 4 è ok :
Scriviamo $a$ $-=$ $b$ $(mod c)$ per indicare che $c$ divide $a - b$
Se $4$ non divide $x$ allora $x^2$ $-=$ $1$ $(mod 4)$ ma allora se $4$ non divide uno dei due cateti si ha che $a^2 +b^2 -= 2$ $(mod 4)$ e quindi non può fare $c^2 $ (perché per ogni $c^2 $$-=$ $0,1$ $(mod 4)$)
dolce notte .. smack
p.s. : forse ho fatto qualche errore di calcolo ?!
"Susannap":Questa dimostrazione fa acqua da tutte le parti.
Ipotizzo , per assurdo , che $ k$ possa sempre essere il cateto maggiore $b$ di una terna pitagorica
solo e solo se $ k$ , è sempre divisibile per uno degli elementi di $B$ .
Ma trovo un contro esempio , in $ k=6$ .
Se $b=6$ , infatti , la terna $(a,b,c)$ ad essa associata non può essere una terna pitagorica in quanto dimostrato che il cateto maggiore di una terna pitagorica primitiva è sempre divisibile per 4 , di conseguenza anche il cateto maggiore delle terne pitagoriche derivate deve essere sempre divisibile per 4 .
Dunque soso e solo se $k$ è divisibile per uno degli elementi di $A$ , può essere sempre considerato come il cateto maggiore $b$ di una terna pitagorica $(a,b,c)$ . C.V.D.
Devi dimostrare che un cateto è divisibile per $4$ e a un certo punto scrivi che è dimostrato che un cateto della terna pitagorica primitiva è sempre divisibile per $4$. Non bastava scrivere solo quello?
Per il futuro, ti consiglio vivamente di lasciar perdere i tuoi affezionatissimi insiemi $A$ e $B$.
Anche la tua ultima dimostrazione non ha molto senso.
Ti stai perdendo in un bicchiere d'acqua. Perchè fare cose complicate quando ce ne sono di molto più semplici?
Sappiamo che $ab$ è divisibile per $12$, quindi, poichè $a$ è dispari, $b$ (il cateto pari) deve per forza essere divisibile per $4$. Fine
E' vero .. mi perdo in un bicchiere d'acqua .. però fortunatamente ho te come GPS .. grazie
Il fatto è che studio scienze della formazione primaria ed , avendo fatto pure il liceo classico , in matematica stò messa maluccio , ma adoro tanto la matematica degli interi .. , ecco perchè sparo delle "cavolate" incredibili ..
Se per $4$ ed ogni suo multiplo positivo c'è almeno una terna Pitagorica PRIMITIVA a cui esso appartiene (come cateto pari) , posso affermare che se per tutti i multipli positivi di $4$ ci sia soltanto una terna Pitagorica DERIVATA a cui esso appartiene (come cateto pari) , allora ciò implica che il numero dei primi sia una quantità finita perché non è possibile trovare $m,n in NN-{0}$ primi tra loro, non entrambi dispari, con $m>n$, tali che ${(a=m^2-n^2),(b=2mn),(c=m^2+n^2):}$
Nel caso questo enunciato abbia senso (anche se banale) , come dovrei procedere per una sua dimostrazione .
Ciaoo
p.s. : scusa se anche questo n-esimo enunciato è espresso in modo contorto ..
p.s.2 : ma proprio per tutti i multipli di 4 esiste una terna Pitagorica primitiva a cui esso appartiene , oppure esiste un multiplo di 4 che appartiene sicuramente ada una terna pitagorica derivata ma non ad una terna pitagorica primitiva ?
Il fatto è che studio scienze della formazione primaria ed , avendo fatto pure il liceo classico , in matematica stò messa maluccio , ma adoro tanto la matematica degli interi .. , ecco perchè sparo delle "cavolate" incredibili ..
Se per $4$ ed ogni suo multiplo positivo c'è almeno una terna Pitagorica PRIMITIVA a cui esso appartiene (come cateto pari) , posso affermare che se per tutti i multipli positivi di $4$ ci sia soltanto una terna Pitagorica DERIVATA a cui esso appartiene (come cateto pari) , allora ciò implica che il numero dei primi sia una quantità finita perché non è possibile trovare $m,n in NN-{0}$ primi tra loro, non entrambi dispari, con $m>n$, tali che ${(a=m^2-n^2),(b=2mn),(c=m^2+n^2):}$
Nel caso questo enunciato abbia senso (anche se banale) , come dovrei procedere per una sua dimostrazione .
Ciaoo
p.s. : scusa se anche questo n-esimo enunciato è espresso in modo contorto ..
p.s.2 : ma proprio per tutti i multipli di 4 esiste una terna Pitagorica primitiva a cui esso appartiene , oppure esiste un multiplo di 4 che appartiene sicuramente ada una terna pitagorica derivata ma non ad una terna pitagorica primitiva ?
"Susannap":Non ci ho capito molto.
Se per $4$ ed ogni suo multiplo positivo c'è almeno una terna Pitagorica PRIMITIVA a cui esso appartiene (come cateto pari) , posso affermare che se per tutti i multipli positivi di $4$ ci sia soltanto una terna Pitagorica DERIVATA a cui esso appartiene (come cateto pari) , allora ciò implica che il numero dei primi sia una quantità finita perché non è possibile trovare $m,n in NN-{0}$ primi tra loro, non entrambi dispari, con $m>n$, tali che ${(a=m^2-n^2),(b=2mn),(c=m^2+n^2):}$
TI chiederei di spiegarti meglio, ma non voglio che si complichino ulteriormente le cose
"Susannap":Te l'ho già detto prima:
p.s.2 : ma proprio per tutti i multipli di 4 esiste una terna Pitagorica primitiva a cui esso appartiene , oppure esiste un multiplo di 4 che appartiene sicuramente ada una terna pitagorica derivata ma non ad una terna pitagorica primitiva ?
Per ogni multiplo di $4$ c'è almeno una terna pitagorica primitiva a cui esso appartiene (come cateto pari, ovviamente)
Infatti, se $x$ è un generico multiplo di $4$, allora ${(a=(x/2)^2-1),(b=x),(c=(x/2)^2+1):}$ è una terna pitagorica primitiva (ho preso $m=x/2$, $n=1$).
Ovviamente ce ne possono essere anche altre.
[/quote]Non ci ho capito molto.
TI chiederei di spiegarti meglio, ma non voglio che si complichino ulteriormente le cose [/quote]
ahahah .. bella questa ..
adesso mi schiarisco meglio le idee e poi cerco di esprirmermi al meglio .. non ti aspettare "miracoli" ..
Dolce notte nelle braccia della sorella di Morfeo .. smack
TI chiederei di spiegarti meglio, ma non voglio che si complichino ulteriormente le cose
[/quote]ahahah .. bella questa
.. adesso mi schiarisco meglio le idee e poi cerco di esprirmermi al meglio .. non ti aspettare "miracoli" ..
Dolce notte nelle braccia della sorella di Morfeo .. smack
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