Terminologia: fattorizzazione di mappe
Non ho capito come si usa il verbo "fattorizzare" riferito alle mappe, in particolare agli omomorfismi. Mi interessa questo caso: ho gruppi \(G, G'\), un sottogruppo normale \(N\) di \(G\) e un omomorfismo \(\alpha\colon G \to G'\) tale che \(\alpha(N)=\{e'\}\).
Allora so che esiste un unico omomorfismo \(\tilde{\alpha}\colon G /N \to G'\) tale che \(\alpha=\tilde{\alpha}\pi\). Come si esprime a parole quest'ultima formula? Forse "\(\alpha\) si fattorizza mediante \(\pi\)", o qualcosa del genere...?
Allora so che esiste un unico omomorfismo \(\tilde{\alpha}\colon G /N \to G'\) tale che \(\alpha=\tilde{\alpha}\pi\). Come si esprime a parole quest'ultima formula? Forse "\(\alpha\) si fattorizza mediante \(\pi\)", o qualcosa del genere...?
Risposte
Sì, si esprime come hai detto.
Ok. Grazie Martino!
In generale è un verbo utilizzato in contesto categoriale. Data una freccia [tex]u \colon a \to b[/tex] diciamo che [tex]f \colon a \to c[/tex] fattorizza attraverso [tex]u[/tex] se esiste (unica) una mappa [tex]v \colon b \to c[/tex] con [tex]v u = f[/tex]. Farei un diagramma commutativo, ma mi sa che da quando è cambiato il forum non è mai più stato riattivato il pacchetto xymatrix.
Il pacchetto purtroppo non è stato ancora attivato, ma non credo dipenda da noi, è un problema tecnico di cui Stan parlava già un po' di tempo fa. Comunque ho capito che diagramma volevi disegnare:
dove \(G=a, H=c, G/\ker(f)=b, \bar{f}=v\). (Giusto?) E diciamo che \(f\) si "fattorizza" perché effettivamente si decompone in un prodotto (=composizione) di due mappe. Ok, penso di avere capito. Grazie maurer!
dove \(G=a, H=c, G/\ker(f)=b, \bar{f}=v\). (Giusto?) E diciamo che \(f\) si "fattorizza" perché effettivamente si decompone in un prodotto (=composizione) di due mappe. Ok, penso di avere capito. Grazie maurer!
Esatto. Nel tuo caso, poi, si parla di "fattorizzazione epi-mono" perché la prima freccia [tex]\pi[/tex] è epi (che in [tex]\mathbf{Grp}[/tex] è equivalente a suriettiva) e la seconda, [tex]\widetilde{f}[/tex] è mono (che in [tex]\mathbf{Grp}[/tex] è equivalente a iniettiva). Esistono altri tipi di fattorizzazione, come ad esempio epi regolare-mono, ma non entro nei dettagli adesso anche perché non credo che ti interessi davvero.
Un fatto interessante è che la fattorizzazione epi-mono è unica: ogni altra fattorizzazione epi-mono è isomorfa a quella (dovrei definire cos'è una mappa tra fattorizzazioni, ma dovrebbe essere piuttosto chiaro: una fattorizzazione può essere vista come un diagramma, ossia un funtore, quindi una mappa tra fattorizzazioni è una mappa tra funtori, ossia una trasformazione naturale). Se vi interessano questi argomenti, chiedete, che posso essere assai più preciso.
Un fatto interessante è che la fattorizzazione epi-mono è unica: ogni altra fattorizzazione epi-mono è isomorfa a quella (dovrei definire cos'è una mappa tra fattorizzazioni, ma dovrebbe essere piuttosto chiaro: una fattorizzazione può essere vista come un diagramma, ossia un funtore, quindi una mappa tra fattorizzazioni è una mappa tra funtori, ossia una trasformazione naturale). Se vi interessano questi argomenti, chiedete, che posso essere assai più preciso.
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