Termine tralasciato dimostrando (1+p)^n >= 1+pn
Salve a tutti!
Ieri studiando mi sono imbattuto in questa dimostrazione,ma non sono riuscito a capirne un passaggio.
Si vuole dimostrare, tramite il principio di induzione, che:
$ (1+p)^n >= 1+pn $
Il primo passo consiste nel moltiplicare entrambi i membri per $ 1 - p $ ottenendo così:
$ (1+p)^(n+1) >= 1+p+np+np^2 $
A questo punto viene tralasciato il termine positivo $ np^2 $ per rafforzare l'uguaglianza.
Questo passo, che permette la dimostrazione, mi rimane ostico.
Per quale motivo quel termine viene tralasciato? In che modo si può scegliere se tralasciare o meno un termine di una disuguaglianza durante una dimostrazione?
Vi ringrazio per le risposte!
Ieri studiando mi sono imbattuto in questa dimostrazione,ma non sono riuscito a capirne un passaggio.
Si vuole dimostrare, tramite il principio di induzione, che:
$ (1+p)^n >= 1+pn $
Il primo passo consiste nel moltiplicare entrambi i membri per $ 1 - p $ ottenendo così:
$ (1+p)^(n+1) >= 1+p+np+np^2 $
A questo punto viene tralasciato il termine positivo $ np^2 $ per rafforzare l'uguaglianza.
Questo passo, che permette la dimostrazione, mi rimane ostico.
Per quale motivo quel termine viene tralasciato? In che modo si può scegliere se tralasciare o meno un termine di una disuguaglianza durante una dimostrazione?
Vi ringrazio per le risposte!
Risposte
Bisogna tenere sempre presente qual è l'obiettivo: devi dimostrare che $(1+p)^(n+1)>= 1+(n+1)p$
Sei arrivato a dimostrare che $(1+p)^(n+1)>= 1+(n+1)p +np^2$;
ora sfrutti il fatto che $np^2>=0$ (dunque $1+(n+1)p+np^2>=1+(n+1)p$) e hai finito
Sei arrivato a dimostrare che $(1+p)^(n+1)>= 1+(n+1)p +np^2$;
ora sfrutti il fatto che $np^2>=0$ (dunque $1+(n+1)p+np^2>=1+(n+1)p$) e hai finito