Teoria ZFC: chiarimenti sull'assioma di regolarità.
Non so se la sezione è giusta, posto qui in quanto liceale, in caso spostatelo pure. Comunque sia...
Il nocciolo della questione è che non mi è chiaro bene questo assioma. Da quello che ho capito ogni insieme (non vuoto) deve contenere almeno un elemento che non abbia elementi in comune con l'insieme di partenza e quindi ne seguirebbe che nessun insieme è elemento di sè stesso... quello che non mi è chiaro è:
Poniamo di avere un insieme A che contiene {A, {1,2}}. Ora, facendo l'intersezione di A con {1,2} i due insiemi risultano disgiunti in quanto nè 1 nè 2 da soli appartengono all'insieme, tuttavia l'insieme contiene comunque sè stesso. Qualcuno può chiarirmi questo dubbio? Magari ho capito male l'assioma ma ci sto uscendo pazzo.
Il nocciolo della questione è che non mi è chiaro bene questo assioma. Da quello che ho capito ogni insieme (non vuoto) deve contenere almeno un elemento che non abbia elementi in comune con l'insieme di partenza e quindi ne seguirebbe che nessun insieme è elemento di sè stesso... quello che non mi è chiaro è:
Poniamo di avere un insieme A che contiene {A, {1,2}}. Ora, facendo l'intersezione di A con {1,2} i due insiemi risultano disgiunti in quanto nè 1 nè 2 da soli appartengono all'insieme, tuttavia l'insieme contiene comunque sè stesso. Qualcuno può chiarirmi questo dubbio? Magari ho capito male l'assioma ma ci sto uscendo pazzo.
Risposte
"ViciousGoblin":
Nel post precedente ho messo in evidenza che NON FAI vedere che dato $A$ che si autoappartiene allora LO STESSO $A$ non e' regolare. L'ho fatto e perche' mi sembrava che smt_1033 ne sentisse il bisogno quando diceva
Ma questo dimostra la non regolarità di B, non di A!
Invece questa proprieta' (piu' forte) non serve e io credo che non sia vera (anche se non lo so per certo).
Maledetto ora mi fai venire altri dubbi XD.
Nello specifico: visto che la contraddizione deriva dall'assioma della coppia e da quello di regolarità... non è che il problema risiede nell'uso combinato dei due? (spero sia chiaro quello che intendo, in caso contrario riformulo, ma a un orario più lontano dalla colazione
)"ViciousGoblin":
Sto ancora pensando se possa essere x={x} , indipendentemente dall'assioma di regolarita'. Comunque qualcosa ci vuole perche'
se x e' l'insieme di tutti gli insiemi allora mi pare che x={x} sia vero.
Mi pare che in ZFC "l'insieme di tutti gli insiemi" non è costruibile, perchè porterebbe al paradosso di contenere il suo insieme delle parti che si dimostra essere di cardinalità superiore all'inisieme...
P.S.:Visto che la mia mappa concettuale per gli esami ha un titolo segomentaloso come "Autocoscienza, scetticismo, diversità: i presupposti della libertà di pensiero" e insiste proprio sulle differenze nell'affrontare un argomento... qualcuno mi saprebbe spiegare (o linkare una spiegazione della cosa) come evitano il Paradosso di Russel quei sistemi in cui può esistere $A|A in A$?
@smt_1033
Rispondo (???) al primo problema - per quanto riguarda il paradosso di Russel voglio riflettere ancora un attimo.
Il problema e' di natura logica, non intendevo discutere quali assiomi esattamente servono per avere certi risultati.
L'affermazione di cui stiamo discutendo e'
(*) L'assioma di regolarita' (piu' altri assiomi di ZF) implica che non esistono insiemi autoappartenentesi
Come detto sopra non intendo vedere esattamente quali altri assiomi servano ( sicuramente quello della coppia).
Per dimostrare (*) si puo' ragionare per assurdo e far vedere che l'esistenza di un $A$ che si autoappartiene contraddice l'assioma di regolarita'.
Per quest'ultimo scopo si potrebbe sperare che da $A\in A$ si deduca $A$ non regolare (se cosi fosse saremmo a posto). Questo pero' non mi risulta
(e quindi sospetto fortemente che non sia vero). Pero' NON E' necessario per contraddire l'assioma di regolarita' che l'insieme non regolare sia
LO STESSO $A$ che si autoappartiene. Basta far vedere che dato un $A$ che si autoappartiene e' possibile costruire un $B$ non regolare: formalmente
(**) Se esiste $A$ con $A\in A$ allora esiste $B$ con $B$ non regolare.
Per motivi puramente logici l'affermazione (**) implica l'affermazione (*). Per dimostrare la (**) si prende (come ormai detto piu' volte) $B={A}$
(usando l'assioma della coppia) e si verifica che $B$ non e' regolare.
Riguardo all'insieme di tutti gli insiemi mi pare che evidente non si a costruibile in ZF dato che sarebbe un insieme che si autoappartiene (e quindi tutti i discorsi sopra). Non so se
togliendo 'assioma di regolarita' non se ne possa comunque escludere l'esistenza per i motivi di cardinalita' di cui sopra (mi pare probabile).
Rispondo (???) al primo problema - per quanto riguarda il paradosso di Russel voglio riflettere ancora un attimo.
Il problema e' di natura logica, non intendevo discutere quali assiomi esattamente servono per avere certi risultati.
L'affermazione di cui stiamo discutendo e'
(*) L'assioma di regolarita' (piu' altri assiomi di ZF) implica che non esistono insiemi autoappartenentesi
Come detto sopra non intendo vedere esattamente quali altri assiomi servano ( sicuramente quello della coppia).
Per dimostrare (*) si puo' ragionare per assurdo e far vedere che l'esistenza di un $A$ che si autoappartiene contraddice l'assioma di regolarita'.
Per quest'ultimo scopo si potrebbe sperare che da $A\in A$ si deduca $A$ non regolare (se cosi fosse saremmo a posto). Questo pero' non mi risulta
(e quindi sospetto fortemente che non sia vero). Pero' NON E' necessario per contraddire l'assioma di regolarita' che l'insieme non regolare sia
LO STESSO $A$ che si autoappartiene. Basta far vedere che dato un $A$ che si autoappartiene e' possibile costruire un $B$ non regolare: formalmente
(**) Se esiste $A$ con $A\in A$ allora esiste $B$ con $B$ non regolare.
Per motivi puramente logici l'affermazione (**) implica l'affermazione (*). Per dimostrare la (**) si prende (come ormai detto piu' volte) $B={A}$
(usando l'assioma della coppia) e si verifica che $B$ non e' regolare.
Riguardo all'insieme di tutti gli insiemi mi pare che evidente non si a costruibile in ZF dato che sarebbe un insieme che si autoappartiene (e quindi tutti i discorsi sopra). Non so se
togliendo 'assioma di regolarita' non se ne possa comunque escludere l'esistenza per i motivi di cardinalita' di cui sopra (mi pare probabile).
"ViciousGoblin":
Per motivi puramente logici l'affermazione (**) implica l'affermazione (*).
Non è (*) a implicare (**)? (purtroppo non ho mai trattato la logica in maniera seria... spero di rimediare all'università).
Sia $p$ la proposizione "Ogni insieme è regolare" e $q$ la proposizione "Ogni insieme non si autoappartiene". Allora $p => q \equiv \neg q => \neg p$, ovvero "Esiste un insieme che si autoappartiene" => "Almeno un insieme è non regolare".
"WiZaRd":
Sia $p$ la proposizione "Ogni insieme è regolare" e $q$ la proposizione "Ogni insieme non si autoappartiene". Allora $p => q \equiv \neg q => \neg p$, ovvero "Esiste un insieme che si autoappartiene" => "Almeno un insieme è non regolare".
Quindi il ragionamento sarebbe dimostro $\neg q => \neg p$ perchè se vale questa vale anche $p=>q$ giusto?
Diciamo che "terra terra" la reductio ad absurdum funziona così.
In effetti, come ha notato Wizard, (*) e (**) sono equivalenti. Si tratta dello "schema" per cui
"(P vera) implica (Q vera)" equivale a "(Q falsa) implica (P falsa)"
Io avevo citato solo l'implicazione che serviva: dato che alla fine ci interessava (*) ho detto che bastava dimostrare (**).
@smt_1033 Non so se ti si e' chiarito il primo punto del mio post precedente (ma magari ti era chiaro dall'inizio). Alla fin fine per dimostrare (*) basta
far vedere che se ci fosse un insieme $A$ che si autoappartiene allora si potrebbe costruire un insieme $B$ non regolare (anche diverso da $A$).
A proposito di Russel, ho fatto una breve ricerca e mi sembra abbastanza chiaro che
1) la strategia per evitare il paradosso e' comunque quella di LIMITARE il meccanismo di formazione degli insiemi, dunque l'assioma di separazione ( o quello di rimpiazzamento)
2) L'avere insiemi autoappartenentesi non e' di per se' foriero di paradosso. Dato un insieme $A$ se costruisci $R={a\in A:a\notin a}$ non ottieni automaticamente un paradosso.
In effetti ottieni che $R\notin A$, perche' se $R\in A$ allora ne seguirebbe $(R\in R)\Leftrightarrow (R\notin R)$ che e' ovviamente contradditorio. Ma non ci sono motivi per cui
$R\in A$
3) Il punto precedente potrebbe fallire (cioe' riproporre il paradosso di Russel) se $A$ fosse l'insieme universale; l'esistenza di tale insieme pero' non sembra deducibile dagli assiomi
"costruttivi" (che producono o sottoinsiemi di un insieme dato o unioni indicizzate da un insieme dato). Quindi in una teoria "non ingenua" l'insieme universale si deve introdurre a forza
(con un apposito assioma). In ZF, anche senza la regolarita' un tale assioma renderebbe inconsistente la teoria (appunto perche' aprirebbe la porta a Russel). Ho visto che ci sono teorie
che contengono l'insieme universale e mi pare di aver capito che per farlo modificano l'assioma di separazione.
4)Tieni peraltro presente che non e' possibile dimostrare dall'interno la consistenza della teoria
(cioe' l'assenza di paradossi). Anche a proposito di paradossi tipo Russel leggendo qua e la' si trovano affermazioni tipo "si e' ABBASTANZA SICURI che un paradosso di quel tipo non possa riproporsi in ZF" ...
Comunque per la tesina il punto fondamentale da far passare e' il punto (1) (limitare le modalita' di formazione degli insiemi).
"(P vera) implica (Q vera)" equivale a "(Q falsa) implica (P falsa)"
Io avevo citato solo l'implicazione che serviva: dato che alla fine ci interessava (*) ho detto che bastava dimostrare (**).
@smt_1033 Non so se ti si e' chiarito il primo punto del mio post precedente (ma magari ti era chiaro dall'inizio). Alla fin fine per dimostrare (*) basta
far vedere che se ci fosse un insieme $A$ che si autoappartiene allora si potrebbe costruire un insieme $B$ non regolare (anche diverso da $A$).
A proposito di Russel, ho fatto una breve ricerca e mi sembra abbastanza chiaro che
1) la strategia per evitare il paradosso e' comunque quella di LIMITARE il meccanismo di formazione degli insiemi, dunque l'assioma di separazione ( o quello di rimpiazzamento)
2) L'avere insiemi autoappartenentesi non e' di per se' foriero di paradosso. Dato un insieme $A$ se costruisci $R={a\in A:a\notin a}$ non ottieni automaticamente un paradosso.
In effetti ottieni che $R\notin A$, perche' se $R\in A$ allora ne seguirebbe $(R\in R)\Leftrightarrow (R\notin R)$ che e' ovviamente contradditorio. Ma non ci sono motivi per cui
$R\in A$
3) Il punto precedente potrebbe fallire (cioe' riproporre il paradosso di Russel) se $A$ fosse l'insieme universale; l'esistenza di tale insieme pero' non sembra deducibile dagli assiomi
"costruttivi" (che producono o sottoinsiemi di un insieme dato o unioni indicizzate da un insieme dato). Quindi in una teoria "non ingenua" l'insieme universale si deve introdurre a forza
(con un apposito assioma). In ZF, anche senza la regolarita' un tale assioma renderebbe inconsistente la teoria (appunto perche' aprirebbe la porta a Russel). Ho visto che ci sono teorie
che contengono l'insieme universale e mi pare di aver capito che per farlo modificano l'assioma di separazione.
4)Tieni peraltro presente che non e' possibile dimostrare dall'interno la consistenza della teoria
(cioe' l'assenza di paradossi). Anche a proposito di paradossi tipo Russel leggendo qua e la' si trovano affermazioni tipo "si e' ABBASTANZA SICURI che un paradosso di quel tipo non possa riproporsi in ZF" ...
Comunque per la tesina il punto fondamentale da far passare e' il punto (1) (limitare le modalita' di formazione degli insiemi).
"ViciousGoblin":
Ho visto che ci sono teorie che contengono l'insieme universale e mi pare di aver capito che per farlo modificano l'assioma di separazione.
Mi pare che ci siano anche delle teorie che prevedono una distinzione tra il concetto di classe e quello di insieme, mentre in ZFC sono sinonimi. In queste teorie esiste la classe universale che, però, per definizione non è un insieme. Una di queste mi pare sia la Von Neumann.
"ViciousGoblin":
@smt_1033 Non so se ti si e' chiarito il primo punto del mio post precedente (ma magari ti era chiaro dall'inizio). Alla fin fine per dimostrare (*) basta
far vedere che se ci fosse un insieme $A$ che si autoappartiene allora si potrebbe costruire un insieme $B$ non regolare (anche diverso da $A$).
Sì, mi è abbastanza chiaro. Quello che mi chiedevo è: dato che l'insieme $B$ è costruito con l'assioma della coppia, il problema non potrebbe (per quanto controintuitivo) risiedere nell'assioma della coppia, o nell'uso dell'assioma della coppia con certi inisiemi?
Non mi è molto chiaro il punto 2) per questioni di poca praticità con la notazione (chiedo venia). Nello specifico, $R$ è l'insieme, $a$ sono i suoi elementi, ma $A$ cos'è?
"ViciousGoblin":
4)Tieni peraltro presente che non e' possibile dimostrare dall'interno la consistenza della teoria
(cioe' l'assenza di paradossi).
Lo so lo so... mi sto leggendo "Tutti pazzi per Gödel" XD.
"ViciousGoblin":
Comunque per la tesina il punto fondamentale da far passare e' il punto (1) (limitare le modalita' di formazione degli insiemi).
Non dovendo esporre il ragionamento per iscritto (siamo vincolati solo a portare la mappa concettuale) non mi pongo il problema perchè tanto quasi sicuramente non mi daranno nemmeno il tempo di parlarne per bene...
"WiZaRd":
[quote="ViciousGoblin"] Ho visto che ci sono teorie che contengono l'insieme universale e mi pare di aver capito che per farlo modificano l'assioma di separazione.
Mi pare che ci siano anche delle teorie che prevedono una distinzione tra il concetto di classe e quello di insieme, mentre in ZFC sono sinonimi. In queste teorie esiste la classe universale che, però, per definizione non è un insieme. Una di queste mi pare sia la Von Neumann.[/quote]
Se non sbaglio la teoria si chiama NBG... mesi fa feci un salto all'Università di Pisa (dove molto probabilmente mi iscriverò) con un amico che studia lì... c'era una specie di poster che tra le altre cose conteneva gli assiomi della NBG e... non ci ho capito una mazza
"Smt_1033":
[quote="ViciousGoblin"]Comunque per la tesina il punto fondamentale da far passare e' il punto (1) (limitare le modalita' di formazione degli insiemi).
Non dovendo esporre il ragionamento per iscritto (siamo vincolati solo a portare la mappa concettuale) non mi pongo il problema perchè tanto quasi sicuramente non mi daranno nemmeno il tempo di parlarne per bene...[/quote]
Secondo me non te ne daranno minimamente il tempo: tra professori di inglese, filosofia, arte, italiano e storia, se solo provassi ad aprire becco sulla ZFC ti boccerebbero seduta stante.
Riguardo il punto 2)
Nella teoria ingenua degli insiemi si puo' costruire un insieme specificando una proprieta' che individua i suoi elementi
Per esempio $A:={x: x "e' pari"}$; $B:={x: x "e' una mosca bianca"}$, $C:={x: x "e' un insieme"}$ ...
Questo porta a vari paradossi - Passando alla teoria assiomatica potremmo dire che "non si dice cosa siano gli insiemi" [1]
ma si dice "come funzionano", in particolare si danno le regole per costruire dei nuovi insiemi a partire da alcuni dati.
Il meccanismo detto all'inizio viene modificato come segue: NON BASTA dare un a proprieta' $P(x)$ per definire un insieme,
devo anche specificare un AMBIENTE in cui variano le $x$, e cioe' assegnare un insieme di partenza $A$:
Non posso piu' definire $B := {x: P(x)}$ ma posso definire $B := {x\in A: P(x)}$ (dato un insieme $A$ e una proprieta' $P$).
Questo dice in sostanza l'assioma di separazione.
Per esempio non posso considerare $R:={x : x\notin x}$ ma per qualunque insieme $A$ posso considerare $R_A:={x\in A: x\notin x}$
(che quindi e' un sottoinsieme di $A$). Mentre $R$ produce un paradosso in quanto $(R\in R)\Leftrightarrow (R\notin R)$ l'insieme
$R_A$ non lo produce , a meno che io non abbia un motivo "esterno" per avere $R_A\in A$. Tutto questo e' indipendente dall'assioma di regolarita'
(che darebbe $R_A=A$) e quindi fa capire che a priori la possibilita' di insiemi autoappartenentesi non e' detto che generi il paradosso di Russel.
Rimane il problema dell'insieme universale, che , anche con lo schema della separazione , produce l'insieme $R$ prendendo per $A$ l'insieme universale.
Ma come ho detto prima, in una teoria assiomatica, l'insieme universale ce lo devi mettere a forza (e anche nelle "teorie antifondative" non c'e').
1 in realta' la teoria assiomatica riguarda solo il comportamento di certe stringhe di simboli. Il "significato" che diamo a questi simboli e' un altro discorso.
EDIT ho corretto un errore insidioso nella definizione di $R_A$
Nella teoria ingenua degli insiemi si puo' costruire un insieme specificando una proprieta' che individua i suoi elementi
Per esempio $A:={x: x "e' pari"}$; $B:={x: x "e' una mosca bianca"}$, $C:={x: x "e' un insieme"}$ ...
Questo porta a vari paradossi - Passando alla teoria assiomatica potremmo dire che "non si dice cosa siano gli insiemi" [1]
ma si dice "come funzionano", in particolare si danno le regole per costruire dei nuovi insiemi a partire da alcuni dati.
Il meccanismo detto all'inizio viene modificato come segue: NON BASTA dare un a proprieta' $P(x)$ per definire un insieme,
devo anche specificare un AMBIENTE in cui variano le $x$, e cioe' assegnare un insieme di partenza $A$:
Non posso piu' definire $B := {x: P(x)}$ ma posso definire $B := {x\in A: P(x)}$ (dato un insieme $A$ e una proprieta' $P$).
Questo dice in sostanza l'assioma di separazione.
Per esempio non posso considerare $R:={x : x\notin x}$ ma per qualunque insieme $A$ posso considerare $R_A:={x\in A: x\notin x}$
(che quindi e' un sottoinsieme di $A$). Mentre $R$ produce un paradosso in quanto $(R\in R)\Leftrightarrow (R\notin R)$ l'insieme
$R_A$ non lo produce , a meno che io non abbia un motivo "esterno" per avere $R_A\in A$. Tutto questo e' indipendente dall'assioma di regolarita'
(che darebbe $R_A=A$) e quindi fa capire che a priori la possibilita' di insiemi autoappartenentesi non e' detto che generi il paradosso di Russel.
Rimane il problema dell'insieme universale, che , anche con lo schema della separazione , produce l'insieme $R$ prendendo per $A$ l'insieme universale.
Ma come ho detto prima, in una teoria assiomatica, l'insieme universale ce lo devi mettere a forza (e anche nelle "teorie antifondative" non c'e').
1 in realta' la teoria assiomatica riguarda solo il comportamento di certe stringhe di simboli. Il "significato" che diamo a questi simboli e' un altro discorso.
EDIT ho corretto un errore insidioso nella definizione di $R_A$
"ViciousGoblin":
Mentre $R$ produce un paradosso in quanto $(R\in R)\Leftrightarrow (R\notin R)$ l'insieme
$R_A$ non lo produce
Potresti spiegarmi il perchè, che non mi è mai stato chiaro? A questo punto pensavo che il non avere il paradosso dipendesse dalla regolarità...
"WiZaRd":
Secondo me non te ne daranno minimamente il tempo: tra professori di inglese, filosofia, arte, italiano e storia, se solo provassi ad aprire becco sulla ZFC ti boccerebbero seduta stante.
Shhh c'è un'esternA di matematica asd.
A questo punto pensavo che il non avere il paradosso dipendesse dalla regolarità...
Mi spiace perche' temo che quanto scrivi sopra sia in parte colpa mia, e da quanto avevo scritto nei primi post
(in maniera un po' avventata, anche se non scorretta - almeno credo)
In soldoni il non avere il paradosso dipende SOPRATTUTTO dall'assioma di separazione, cioe' dalla limitazione alle
modalita' di costruire gli insiemi.
$R_A$ non produce paradosso , almeno non in maniera evidente, come invece succede per $R$ (se $R$ si puo' costruire).
Infatti $R_A$ e' l'insieme di tutti gli insiemi CONTENUTI in $A$ che non si autoappartengono. Se $R_A$ APPARTENESSE ad
$A$ allora ricaveresti che da $R_A\in R_A$ segue $R_A\notin R_A$ e viceversa che da $R_A\notin R_A$ segue $R_A\in R_A$ e quindi il paradosso.
Se invece $R_A\notin A$ non puoi dedurre niente dalla definizione di $R_A$.
Quindi sei libero di definire $R_A$ e con l'argomento appena detto trovi che $R_A\notin A$ (indipendentemente dall'assioma di regolarita' e dal fatto che esistano insiemi che si autoappartengono).
Tutto questo per qualunque insieme $A$ - ma siamo sicuri che non si possa trovare un $A$ per cui l'insieme $R_A$ appartenga ad $A$ riproponendo la contraddizione interna???.
Se la teoria ammette l'insieme universale allora preso quest'ultimo come $A$ deve essere $R_A\in A$ e quindi siamo da capo!!
Io dicevo all'inizio che usando l'assioma di regolarita' si esclude l'esistenza dell'insieme universale e quindi ci si ripara dal paradosso di Russel (usando separazione+regolarita').
Ma in realta', come mi sono reso conto poi, per escludere l'insieme universale non occorre usare la regolarita' - basta non
ipotizzare l'esistenza di tale insieme (che non puo', a quanto ho capito, uscire fuori da nessun degli altri assiomi).
"ViciousGoblin":
Se $R_A$ APPARTENESSE ad
$A$ allora ricaveresti che da $R_A\in R_A$
Perchè?
"Smt_1033":
[quote="ViciousGoblin"]
Se $R_A$ APPARTENESSE ad
$A$ allora ricaveresti che da $R_A\in R_A$
Perchè?[/quote]
Beh per definizione di $R_A$. $R_A$ e' l'insieme degli ELEMENTI DI $A$ che non si autoappartengono. (dunque e' un SOTTOINSIEME di $A$).
Ora $R_A$ puo' autoappartenersi oppure no ma questo crea una contraddizione SOLO se $R_A$ APPARTIENE ad $A$.
Mettiamo infatti che $R_A$ sia un ELEMENTO di $A$; allora se $R_A\in R_A$ vuol dire (per la definizione di $R_A$) che $R_A\notin R_A$, mentre
se $R_Anotin\in R_A$ vuol dire (sempre per la definizione di $R_A$) che $R_A\in R_A$.
Se invece $R_A$ non e' un ELEMENTO di $A$ allora deduci subito che $R_A\notin R_A$ (perche' per sua definizione $R_A\subset A$) e qui ti fermi -
non puoi ottenere $R_A\in R_A$, perche' per stare in $R_A$ non basta non-autoappartersi, bisogna anche essere contenuti in $A$. (qui contenuto significa $\in$)
Questo discorso e' un punto chiave nella differenza tra teoria ingenua e teoria assiomatica. Riflettici bene.
EDIT ho corretto sottoinsieme con elemento SCUSA - stamattina pensavo a una cosa e scrivevo l'altra.
"ViciousGoblin":
per sua definizione $R_A\subset A$)
Scusa l'ignoranza ,ma questa scrittura non vuol dire proprio che $R_A$ è un sottinsieme di $A$?
"Smt_1033":
[quote="ViciousGoblin"]per sua definizione $R_A\subset A$)
Scusa l'ignoranza ,ma questa scrittura non vuol dire proprio che $R_A$ è un sottinsieme di $A$?[/quote]
Certo che e' un sottoinsieme. Dato che $R_A$ e' fatto da (alcuni) elementi di $A$ esso e' un sottoinsieme di $A$.
Quello di cui si discute e' pero' se $R_A\in A$ (cioe' se $R_A$ sia un ELEMENTO di $A$).
Giusto, facevo confusione perchè ricordavo che nello schema di assiomi di separazioni si facesse riferimento all'inclusione in un dato insieme, mentre si parla di appartenenza. Grazie mille!
"Smt_1033":
Giusto, facevo confusione perchè ricordavo che nello schema di assiomi di separazioni si facesse riferimento all'inclusione in un dato insieme, mentre si parla di appartenenza. Grazie mille!
E' colpa mia -mi sono accorto che nel messaggio di stamane ho scritto sempre sottoinsieme invece di elemento (proprio nei punti chiave,
in cui la distinzione e' fondamentale
) SORRY
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