Teoria ZFC: chiarimenti sull'assioma di regolarità.
Non so se la sezione è giusta, posto qui in quanto liceale, in caso spostatelo pure. Comunque sia...
Il nocciolo della questione è che non mi è chiaro bene questo assioma. Da quello che ho capito ogni insieme (non vuoto) deve contenere almeno un elemento che non abbia elementi in comune con l'insieme di partenza e quindi ne seguirebbe che nessun insieme è elemento di sè stesso... quello che non mi è chiaro è:
Poniamo di avere un insieme A che contiene {A, {1,2}}. Ora, facendo l'intersezione di A con {1,2} i due insiemi risultano disgiunti in quanto nè 1 nè 2 da soli appartengono all'insieme, tuttavia l'insieme contiene comunque sè stesso. Qualcuno può chiarirmi questo dubbio? Magari ho capito male l'assioma ma ci sto uscendo pazzo.
Il nocciolo della questione è che non mi è chiaro bene questo assioma. Da quello che ho capito ogni insieme (non vuoto) deve contenere almeno un elemento che non abbia elementi in comune con l'insieme di partenza e quindi ne seguirebbe che nessun insieme è elemento di sè stesso... quello che non mi è chiaro è:
Poniamo di avere un insieme A che contiene {A, {1,2}}. Ora, facendo l'intersezione di A con {1,2} i due insiemi risultano disgiunti in quanto nè 1 nè 2 da soli appartengono all'insieme, tuttavia l'insieme contiene comunque sè stesso. Qualcuno può chiarirmi questo dubbio? Magari ho capito male l'assioma ma ci sto uscendo pazzo.
Risposte
Il ragionamento fila, ma su wiki c'è scritto che si sono costruiti sistemi in cui un insieme si può autoappartenere :S
Boh può essere che hanno trovato qualche altro sistema magari.
Comunque grazie mille, ora è più chiaro
Boh può essere che hanno trovato qualche altro sistema magari.
Comunque grazie mille, ora è più chiaro
"Smt_1033":
Il ragionamento fila, ma su wiki c'è scritto che si sono costruiti sistemi in cui un insieme si può autoappartenere :S
Boh può essere che hanno trovato qualche altro sistema magari.
Comunque grazie mille, ora è più chiaro
Evidentemente avranno messo qualche altro assioma per evitare il paradosso.
Ti ringrazio comunque per avermi fatto ripensare a queste cose - e notare che in qualche modo tutto e' fondato sul vuoto
Questo mi pare un modo di interpretare il fatto che ogni catena discendente di insiemi $A_i$ tali che $A_{i+1}\in A_i$, deve finire col vuoto dopo un numero finito di passi.
Pero' la lunghezza di ogni catena puo' essere arbitrariamnete lunga
Stavo continuando la masturbazione cerebrale su certi argomenti e stavo pensando: per l'assioma di regolarità un insieme A non può contenere come unico elemento un altro insieme B che si autoappartenga perchè l'intersezione tra A e B sarebbe proprio B. Ora, su wiki c'è scritto che per questo motivo non può esistere un insieme che sia elemento di sè stesso. Stavo pensando che però in realtà quello a dare problemi non è tanto che esista un insieme membro di sè stesso quanto che esista un insieme che lo contenga come suo unico elemento. Quindi se un insieme A contiene un insieme B appartenente a sè stesso ma contiene anche qualcos'altro o se questo insieme B se ne sta tranquillo per i fatti suoi l'assioma di regolarità è soddisfatto... o no?
"Smt_1033":
Stavo continuando la masturbazione cerebrale su certi argomenti e stavo pensando: per l'assioma di regolarità un insieme A non può contenere come unico elemento un altro insieme B che si autoappartenga perchè l'intersezione tra A e B sarebbe proprio B. Ora, su wiki c'è scritto che per questo motivo non può esistere un insieme che sia elemento di sè stesso. Stavo pensando che però in realtà quello a dare problemi non è tanto che esista un insieme membro di sè stesso quanto che esista un insieme che lo contenga come suo unico elemento. Quindi se un insieme A contiene un insieme B appartenente a sè stesso ma contiene anche qualcos'altro o se questo insieme B se ne sta tranquillo per i fatti suoi l'assioma di regolarità è soddisfatto... o no?
Non riesco a seguirti - purtroppo in queste questioni bisogna essere molto precisi.
Mi pare comunque acclarato che se c'e' un $B$ tale che $B\in B$ allora $A:={B}$ non e' regolare (cioe' non verifica l'assioma di regolarita'); quindi l'assioma di continuita'
implica che un tale $B$ non puo' esistere. Naturalmente, senza l'assioma di regolarita' potrebbero esistere insiemi non regolari piu' complicati di quello scritto sopra.
Immagino (ma qui la butto a indovinare) che potrebbero anche esistere due insiemi $B_1$ e $B_2$ tali che $B_1\in B_2$ e $B_2\in B_1$ - allora $A={B_1,B_2}$ non e' regolare
($B_1\cap A\supe{B_2}\ne\emptyset$ e $B_2\cap A\supe{B_1}\ne\emptyset$).
Viceversa se l'assioma di regolarita' vale tale coppia non puo' esistere.
Ti faccio notare che dire che un insieme $A$ e' "regolare", cioe' che esiste $a$ in $A$ tale che $a\cap A=\emptyset$
vuol dire che esiste un $a$ in $A$ che non contiene nessun elemento $a'$ di $A$ ($a$ compreso):
$a\cap A=\emptyset$ se e solo se per ogni $a'\in A$ $a'\notin a$.
A rovescio, per produrre un $A$ non regolare bisogna trovare un insieme tale che per ogni suo elemento $a$ ce n'e' un altro, diciamo
$a'$ (eventualmentye lo stesso $a$) , tale che $a'\in a$.
Ti sei cacciato in un bel ginepraio ...
Infatti la domanda era proprio: $A:={B}$ con $B in B$ non è regolare, ma $B$ lo è? O lo stesso $A$ a cui aggiungiamo un altro elemeno disgiunto da $B$ e da $A$ non diventa poi regolare?
(ho deciso, agli esami inizio a parlare di ste cose così li rincoglionisco per bene, li ipnotizzo e li convinco a mettermi 100 asd)
(ho deciso, agli esami inizio a parlare di ste cose così li rincoglionisco per bene, li ipnotizzo e li convinco a mettermi 100 asd)
"Smt_1033":
Infatti la domanda era proprio: $A:={B}$ con $B in B$ non è regolare, ma $B$ lo è? O lo stesso $A$ a cui aggiungiamo un altro elemeno disgiunto da $B$ e da $A$ non diventa poi regolare?
(ho deciso, agli esami inizio a parlare di ste cose così li rincoglionisco per bene, li ipnotizzo e li convinco a mettermi 100 asd)
La risposta alla prima domanda mi pare sia "dipende da $B$" - ma devo pensarci .
Si tratta di capire se un insieme $B$ che si autoappartiene puo'/non puo'/ deve
essere regolare. A occhio direi che puo' esserlo e puo' anche non esserlo.
Per quanto riguarda la seconda domanda mi pare tu dica: se $B\in B$ e se $A={a,B}$ cosa ci vuole su $a$ perche' $A$ sia regolare ? Beh ci vuole che
$a\cap A=\emptyset$ e cioe' $a\notin a$ e $B\notin a$. (mi pare che $a$ disgiunto da $B$ non c'entri, mentre dire $a$ disgiunto da $A$ e' lo stesso che
dire la regolarita' ma non ti dice niente di piu').
Appunto, su wiki diceva che non può esistere un insieme $A|A in A$ perchè altrimenti $B:={A}$ non sarebbe regolare. Ma questo dimostra la non regolarità di $B$, non di $A$!
Up 
"Smt_1033":
Appunto, su wiki diceva che non può esistere un insieme $A|A in A$ perchè altrimenti $B:={A}$ non sarebbe regolare. Ma questo dimostra la non regolarità di $B$, non di $A$!
Ma la non regolarità di $B$ deriva dalla non regolarità di $A$.
Sì, questo è chiaro. Ma questo vuol dire solo che non possono esistere insiemi che abbiamo come elementi insiemi appartenenti a sè stessi, non che non possono esistere insieme elementi di sè stessi. Sbaglio?
Ammettiamo che esista un insieme che sia non regolare. Diciamo $A$ questo insieme. L'assioma della coppia mi permette di costruire $B={A,A}={A}$. Quindi se esiste $A$, esiste anche $B$ e questo è garantito dall'assioma della coppia. Dati $A$ e $B$, si possono intersecare: questo è garantito da un teorema che prova la possibilità di intersecare gli insiemi. Quindi se esiste A non regolare, allora esiste $B$, e allora esiste $A\capB$. Ma $A\capB=A$: per l'assioma di regolarità non può esistere un siffatto $B$. Ma l'esistenza di $B$ è dovuta all'assioma della coppia e all'esistenza di $A$ non regolare. Quindi
1) l'assioma della coppia non è buono
2) $A$ non può esistere
Escludendo 1), l'assurdo è dovuto a 2): cioé $A$ non regolare non esiste.
1) l'assioma della coppia non è buono
2) $A$ non può esistere
Escludendo 1), l'assurdo è dovuto a 2): cioé $A$ non regolare non esiste.
Ora è chiaro. Grazie mille! 
Di niente.
Mi sono accorto di non avere inviato un messaggio di risposta a Smt_1033 (devo aver dimenticato di premere invia ...).
Vi siete gia' chiariti, pero' vorrei mettere in evidenza che non mi pare vero (e se lo e' non e' ovvio)
che "$A\in A$" implica "$A$ non regolare" (o il viceversa). Quello che si dimostra e' che
"Esiste $B$ che si autoappartiene" implica "Esiste $A$ non regolare"
Il viceversa probabilmente non e' vero - per inciso (come avevo gia' detto ) con regolare intendo un insieme $A$ che verifichi l'assioma di regolarita'
(forse Wizard intendeva un 'altra cosa, altrimenti non capisco la sua dimostrazione)
Vi siete gia' chiariti, pero' vorrei mettere in evidenza che non mi pare vero (e se lo e' non e' ovvio)
che "$A\in A$" implica "$A$ non regolare" (o il viceversa). Quello che si dimostra e' che
"Esiste $B$ che si autoappartiene" implica "Esiste $A$ non regolare"
Il viceversa probabilmente non e' vero - per inciso (come avevo gia' detto ) con regolare intendo un insieme $A$ che verifichi l'assioma di regolarita'
(forse Wizard intendeva un 'altra cosa, altrimenti non capisco la sua dimostrazione)
Innazitutto si può provare in modo diretto che non esistono insiemi che si autoappartengono.
Sia $x$ un insieme in ZFC. Per l'assioma della coppia esiste ${x,x}\equiv{x}=:X$. Per $X$ vale l'assioma di regolarità, i.e. $\exists a \in X : a \cap X = \emptyset$; ma $X$ è un singleton, dunque $x\capX=\emptyset$, donde $x\cap{x}=\emptyset$ e finalmente $x \notin {x}$.
Quanto alla questione sollevata dall'amico ViciousGoblin, cerco di chiarire i miei intendimenti.
L'assioma di regolarità che uso è $\forall X!=\emptyset, \exists x \in X : x \cap X = \emptyset$. Anche io con l'aggettivo "regolare" intendo dire che un certo insieme rispetta l'assioma di regolarità.
Qui non capisco. Posto $B={A}$ non mi pare che si supponga che $B$ si autoappartiene: in tal caso parleremmo di ${A}\in{A}$, ma dopo si prende in considerazione $A$. Io credo che si dimostri questo. Se $A \in A$ allora, per definizione $A$ non è regolare, perché in tal caso abbiamo che $\exists x \in A : x \cap A != \emptyset$, sicché non è rispettato l'assioma di regolarità. Se esiste un $A$ non regolare, esiste un $B={A}$, il quale non è un insieme che si autoappratiene, ma è comunque non regolare. La costruzione di $B$ è possibile per l'assioma della coppia e per l'esistenza di un $A$ non regolare perché autoappartenentesi, quindi un $A$ di questo tipo non esiste.
Mi rendo conto che è una prova per assurdo alquanto artificiosa, ma non colgo perché non prova che dal supporre $A \in A$ si arrivi a un risultato contraddittorio.
Sia $x$ un insieme in ZFC. Per l'assioma della coppia esiste ${x,x}\equiv{x}=:X$. Per $X$ vale l'assioma di regolarità, i.e. $\exists a \in X : a \cap X = \emptyset$; ma $X$ è un singleton, dunque $x\capX=\emptyset$, donde $x\cap{x}=\emptyset$ e finalmente $x \notin {x}$.
Quanto alla questione sollevata dall'amico ViciousGoblin, cerco di chiarire i miei intendimenti.
L'assioma di regolarità che uso è $\forall X!=\emptyset, \exists x \in X : x \cap X = \emptyset$. Anche io con l'aggettivo "regolare" intendo dire che un certo insieme rispetta l'assioma di regolarità.
"ViciousGoblin":
Vi siete gia' chiariti, pero' vorrei mettere in evidenza che non mi pare vero (e se lo e' non e' ovvio)
che "$A\inA$" implica "A non regolare" (o il viceversa). Quello che si dimostra e' che
"Esiste $B$ che si autoappartiene" implica "Esiste $A$ non regolare"
Qui non capisco. Posto $B={A}$ non mi pare che si supponga che $B$ si autoappartiene: in tal caso parleremmo di ${A}\in{A}$, ma dopo si prende in considerazione $A$. Io credo che si dimostri questo. Se $A \in A$ allora, per definizione $A$ non è regolare, perché in tal caso abbiamo che $\exists x \in A : x \cap A != \emptyset$, sicché non è rispettato l'assioma di regolarità. Se esiste un $A$ non regolare, esiste un $B={A}$, il quale non è un insieme che si autoappratiene, ma è comunque non regolare. La costruzione di $B$ è possibile per l'assioma della coppia e per l'esistenza di un $A$ non regolare perché autoappartenentesi, quindi un $A$ di questo tipo non esiste.
Mi rendo conto che è una prova per assurdo alquanto artificiosa, ma non colgo perché non prova che dal supporre $A \in A$ si arrivi a un risultato contraddittorio.
"WiZaRd":
Innazitutto si può provare in modo diretto che non esistono insiemi che si autoappartengono.
Sia $x$ un insieme in ZFC. Per l'assioma della coppia esiste ${x,x}\equiv{x}=:X$. Per $X$ vale l'assioma di regolarità, i.e. $\exists a \in X : a \cap X = \emptyset$; ma $X$ è un singleton, dunque $x\capX=\emptyset$, donde $x\cap{x}=\emptyset$ e finalmente $x \notin {x}$.
Quanto alla questione sollevata dall'amico ViciousGoblin, cerco di chiarire i miei intendimenti.
L'assioma di regolarità che uso è $\forall X!=\emptyset, \exists x \in X : x \cap X = \emptyset$. Anche io con l'aggettivo "regolare" intendo dire che un certo insieme rispetta l'assioma di regolarità.
[quote="ViciousGoblin"]
Vi siete gia' chiariti, pero' vorrei mettere in evidenza che non mi pare vero (e se lo e' non e' ovvio)
che "$A\inA$" implica "A non regolare" (o il viceversa). Quello che si dimostra e' che
"Esiste $B$ che si autoappartiene" implica "Esiste $A$ non regolare"
Qui non capisco. Posto $B={A}$ non mi pare che si supponga che $B$ si autoappartiene: in tal caso parleremmo di ${A}\in{A}$, ma dopo si prende in considerazione $A$. Io credo che si dimostri questo. Se $A \in A$ allora, per definizione $A$ non è regolare, perché in tal caso abbiamo che $\exists x \in A : x \cap A != \emptyset$, sicché non è rispettato l'assioma di regolarità. Se esiste un $A$ non regolare, esiste un $B={A}$, il quale non è un insieme che si autoappratiene, ma è comunque non regolare. La costruzione di $B$ è possibile per l'assioma della coppia e per l'esistenza di un $A$ non regolare perché autoappartenentesi, quindi un $A$ di questo tipo non esiste.
Mi rendo conto che è una prova per assurdo alquanto artificiosa, ma non colgo perché non prova che dal supporre $A \in A$ si arrivi a un risultato contraddittorio.[/quote]
@wizard Ti ringrazio per l'amicizia che ricambio - detto questo preparati alle bordate
1) MI sembra difficile sostenere che $x\notin {x}$ - forse intendevi $x\ne {x}$ da cui ${x}\notin {x}$. Secondo me per questo non dovrebbe servire l'assioma di regolarita', ma non ne sono sicuro - provero' a pensarci un po'.
2) Per quanto attiene alla seconda questione non capisco i commenti che fai. La prima parte della tua dimostrazione e' giusta e mostra precisamente che
"esiste $A$ con $A\in A$" implica "esiste $B$ non regolare"
che e' esattamente cio' che avevo detto io, solo con i simboli $A$ e $B$ scambiati (ma questo e' irrilevante dato che $A$ e $B$ sono quantificati). E la conseguenza di cio' e'
appunto che, se si assume l'assioma di regolarita' non possono esistere insiemi che si autoappartengono.
Nella dimostrazione fai appunto vedere che dato $A$ che si autoappartiene allora $B:={A}$ non e' regolare.
Nel post precedente ho messo in evidenza che NON FAI vedere che dato $A$ che si autoappartiene allora LO STESSO $A$ non e' regolare. L'ho fatto e perche' mi sembrava che smt_1033 ne sentisse il bisogno quando diceva
Ma questo dimostra la non regolarità di B, non di A!
Invece questa proprieta' (piu' forte) non serve e io credo che non sia vera (anche se non lo so per certo).
3) Riguardo alla seconda parte della dim. riportata sopra non ho capito a che pro' mi dici che
"$A$ non regolare" implica "${A}$ non regolare"
e oltre a cio' mi pare che questo non sia vero, essendo in sostanza equivalente a dire
"$A$ non regolare" implica "$A\in A$" (e' facile vedere che "${A}$ non regolare" e' equivalente a $A\in A$)
di cui non sono convinto.
4) Mi ero poi chiesto in che senso usavi il termine "non regolare" perche' mi pare che la tua affermazione
Ma la non regolarità di $B$ deriva dalla non regolarità di $A$.
non sia corretta dato che la "non regolarita' di $B$" deriva dalla "appartenenza di $A$ a se stesso" (almeno secondo la dim.). Analogamente quando esordisci nella dim. con
Ammettiamo che esista un insieme che sia non regolare.
io rimango un po' sorpreso, dato che mi sembra stessimo assumendo l'assioma di regolarita' e quindi la non esistenza di un insieme non regolare.
Io avrei detto "Ammettiamo che esista un insieme che si auto appartiene" - dopo di che la dimostrazione e' quella che dici tu e arriva a mostrare che $B={A}$ non e'
regolare (e quindi per l'assioma di regolarita' non puo' esistere) ergo assurdo.
Alla prossima
"ViciousGoblin":
1) MI sembra difficile sostenere che $x\notin {x}$ - forse intendevi $x\ne {x}$ da cui ${x}\notin {x}$. Secondo me per questo non dovrebbe servire l'assioma di regolarita', ma non ne sono sicuro - provero' a pensarci un po'.
Per il momento rispondo solo al punto 1), perché per gli altri ci devo riflettere un poco.
Mi è partita na coppia di prentesi graffe di troppo: volevo scrivere $x \notin x$.
Riguardo all'esistenza di un insieme che non si autoappartiene si puo' usare $A=\emptyset$ . Dato che il vuoto non ha elementi
non puo' appartenere a se' stesso. Quindi non serve l'assioma di regolarita' per questo.
Sto ancora pensando se possa essere $x={x}$ , indipendentemente dall'assioma di regolarita'. Comunque qualcosa ci vuole perche'
se $x$ e' l'insieme di tutti gli insiemi allora mi pare che $x={x}$ sia vero.
EDIT Ho cambiato idea sull'ultimo punto. Anche se $x$ e' l'insieme di tutti gli insiemi non mi pare che $x={x}$, anche se e' vero che in quel caso
$x\in{x}$ e ${x}\in x$ (ma $\in$ non e' $\subset$). Quindi mi rimane il dubbio che $x\ne{x}$ sia sempre vero per motivi puramente logici.
EDIT 2 Ho fatto qualche ricerca e ho scoperto che ci sono teorie alternative a ZFC in cui esistono degli insiemi $x$ per cui $x={x}$ (detti atomi di Quine )
Quindi mi sbagliavo, il fatto che oggetti del genere non esistano (o esistano) va imposto mediante un assioma - quello di regolarita' ne garantisce la non esistenza.
EDIT 3 Oltre a $\emptyset$ anche ${\emptyset}$ non si auto appartiene perche' ${\emptyset}\in{\emptyset}\Rightarrow {\emptyset}=\emptyset$ e questo e' impossibile
in quanto $\emptyset\in{\emptyset}$ ma $\emptyset\notin\emptyset$. Piu' in generale mi pare che se $A\notin A$ allora ${A}\notin {A}$ per cui trovi un bel po'
di insiemi che non si autoappartengono, senza usare la regolarita'
non puo' appartenere a se' stesso. Quindi non serve l'assioma di regolarita' per questo.
Sto ancora pensando se possa essere $x={x}$ , indipendentemente dall'assioma di regolarita'. Comunque qualcosa ci vuole perche'
se $x$ e' l'insieme di tutti gli insiemi allora mi pare che $x={x}$ sia vero.
EDIT Ho cambiato idea sull'ultimo punto. Anche se $x$ e' l'insieme di tutti gli insiemi non mi pare che $x={x}$, anche se e' vero che in quel caso
$x\in{x}$ e ${x}\in x$ (ma $\in$ non e' $\subset$). Quindi mi rimane il dubbio che $x\ne{x}$ sia sempre vero per motivi puramente logici.
EDIT 2 Ho fatto qualche ricerca e ho scoperto che ci sono teorie alternative a ZFC in cui esistono degli insiemi $x$ per cui $x={x}$ (detti atomi di Quine )
Quindi mi sbagliavo, il fatto che oggetti del genere non esistano (o esistano) va imposto mediante un assioma - quello di regolarita' ne garantisce la non esistenza.
EDIT 3 Oltre a $\emptyset$ anche ${\emptyset}$ non si auto appartiene perche' ${\emptyset}\in{\emptyset}\Rightarrow {\emptyset}=\emptyset$ e questo e' impossibile
in quanto $\emptyset\in{\emptyset}$ ma $\emptyset\notin\emptyset$. Piu' in generale mi pare che se $A\notin A$ allora ${A}\notin {A}$ per cui trovi un bel po'
di insiemi che non si autoappartengono, senza usare la regolarita'
Cerco di rispondere ai dubbi che giustamente hai sollevato nei punti da 2) a 4).
Credo che il tutto nasca da un mio gravissimo errore di impostazione.
Siamo concordi nell'affermare che un insieme $X$ è non regolare se per esso non vale l'assioma di regolarità. L'assioma di regolarità dice che per ogni insieme non vuoto esiste almeno un suo elemento che è disgiunto da esso. Se l'insieme $X$ è non regolare nel senso prima chiarito, allora per esso vale la negazione dell'assioma di regolarità (logica bivalente). Il mio errore principale sta nella costruzione di questa negazione: erroneamente mi son dimenticato di cambiare il quantificatore, per cui sono andato avanti con "non regolare sse esiste almeno un elemento di $X$ tale da non essere disgiunto da $X$". In realtà la negazione corretta è "ogni elemento di $X$ non è disgiunto", sicché $A \in A$, da solo, non basta per implicare la non regolarità di $A$. Quindi, infine, dall'autoappartenza di $A$ a se stesso segue la non regolarità di $B={A}$: assurdo.
Sei d'accordo?
Credo che il tutto nasca da un mio gravissimo errore di impostazione.
Siamo concordi nell'affermare che un insieme $X$ è non regolare se per esso non vale l'assioma di regolarità. L'assioma di regolarità dice che per ogni insieme non vuoto esiste almeno un suo elemento che è disgiunto da esso. Se l'insieme $X$ è non regolare nel senso prima chiarito, allora per esso vale la negazione dell'assioma di regolarità (logica bivalente). Il mio errore principale sta nella costruzione di questa negazione: erroneamente mi son dimenticato di cambiare il quantificatore, per cui sono andato avanti con "non regolare sse esiste almeno un elemento di $X$ tale da non essere disgiunto da $X$". In realtà la negazione corretta è "ogni elemento di $X$ non è disgiunto", sicché $A \in A$, da solo, non basta per implicare la non regolarità di $A$. Quindi, infine, dall'autoappartenza di $A$ a se stesso segue la non regolarità di $B={A}$: assurdo.
Sei d'accordo?
"WiZaRd":
Cerco di rispondere ai dubbi che giustamente hai sollevato nei punti da 2) a 4).
Credo che il tutto nasca da un mio gravissimo errore di impostazione.
Siamo concordi nell'affermare che un insieme $X$ è non regolare se per esso non vale l'assioma di regolarità. L'assioma di regolarità dice che per ogni insieme non vuoto esiste almeno un suo elemento che è disgiunto da esso. Se l'insieme $X$ è non regolare nel senso prima chiarito, allora per esso vale la negazione dell'assioma di regolarità (logica bivalente). Il mio errore principale sta nella costruzione di questa negazione: erroneamente mi son dimenticato di cambiare il quantificatore, per cui sono andato avanti con "non regolare sse esiste almeno un elemento di $X$ tale da non essere disgiunto da $X$". In realtà la negazione corretta è "ogni elemento di $X$ non è disgiunto", sicché $A \in A$, da solo, non basta per implicare la non regolarità di $A$. Quindi, infine, dall'autoappartenza di $A$ a se stesso segue la non regolarità di $B={A}$: assurdo.
Sei d'accordo?
Devo dire che non mi ero accorto dell'errore di cui parli - tenendo presente questo mi sembra di cogliere il filo del tuo discorso.
Comunque il punto principale della questione e'
dall'autoappartenza di A a se stesso segue la non regolarità di $B={A}$
su cui sono (ultra) d'accordo.
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