Teoria di Galois - Polinomio minimo e elementi coniugati
Rieccomi alle prese con Galois...
Ho qualche dubbio su un esercizio (di cui comunque ho anche la soluzione):
Es. Sia $\zeta \in CC$ una radice primitiva settima dell'unità. Determinare il polinomio minimo di $\alpha := \zeta^3 +\zeta^5 +\zeta^6$ su $QQ$ e il polinomio minimo di $\zeta$ su $QQ(\alpha)$
Sol.
1) Sia $\beta = \zeta +\zeta^2 +\zeta^4 = \bar(\alpha)$, le immagini distinte di $\alpha$ sono $\alpha$ e $\beta$, quindi il polinomio minimo è $(x-\alpha)(x-\beta) = x^2 +x -2$.
Il mio dubbio è: di quali automorfismi si sta parlando? Se non ho capito male, i coniugati di $\alpha$ (che sono utili per l'appunto anche per calcolare il polinomio minimo) sono tutte le possibili immagini di $\alpha$ rispetto a un sottogruppo del gruppo degli automorfismi... ma in questi casi quali automorfismi si devono prendere ed applicare ad $alpha$?
Il dubbio è abbastanza generale, non riguarda l'esercizio in particolare ma proprio come trovare questi polinomi minimi e soprattutto quali automorfismi devo prendere in considerazione (da applicare all'elemento e di cui prendere le immagini).
Ho qualche dubbio su un esercizio (di cui comunque ho anche la soluzione):
Es. Sia $\zeta \in CC$ una radice primitiva settima dell'unità. Determinare il polinomio minimo di $\alpha := \zeta^3 +\zeta^5 +\zeta^6$ su $QQ$ e il polinomio minimo di $\zeta$ su $QQ(\alpha)$
Sol.
1) Sia $\beta = \zeta +\zeta^2 +\zeta^4 = \bar(\alpha)$, le immagini distinte di $\alpha$ sono $\alpha$ e $\beta$, quindi il polinomio minimo è $(x-\alpha)(x-\beta) = x^2 +x -2$.
Il mio dubbio è: di quali automorfismi si sta parlando? Se non ho capito male, i coniugati di $\alpha$ (che sono utili per l'appunto anche per calcolare il polinomio minimo) sono tutte le possibili immagini di $\alpha$ rispetto a un sottogruppo del gruppo degli automorfismi... ma in questi casi quali automorfismi si devono prendere ed applicare ad $alpha$?
Il dubbio è abbastanza generale, non riguarda l'esercizio in particolare ma proprio come trovare questi polinomi minimi e soprattutto quali automorfismi devo prendere in considerazione (da applicare all'elemento e di cui prendere le immagini).
Risposte
Il mio dubbio è: di quali automorfismi si sta parlando?Di tutti i $QQ$-automorfismi. In questo caso sono univocamente determinati dall'immagine di $zeta$ (che è del tipo $\zeta^i$ con $i$ coprimo con 7).
Naturalmente per trovare il polinomio minimo di $zeta$ su $QQ(alpha)$ dovrai prendere i $QQ(alpha)$-automorfismi.
Ok grazie mille, ora ho provato i 6 automorfismi $\phi_i \in Gal_(QQ)(\zeta)$ e effettivamente le immagini sono solo $\zeta^3 +\zeta^5 +\zeta^6$ e $\zeta +\zeta^2 +\zeta^4$. Inoltre gli unici automorfismi che fissano $\alpha = \zeta^3 +\zeta^5 +\zeta^6$ sono $\phi_1$, $\phi_2$ e $\phi_4$ quindi se ho capito bene il polinomio minimo di $\zeta$ su $QQ(\alpha)$ è $(x-\zeta)(x-\zeta^2)(x-\zeta^4)$, che per motivi di grado e di termine noto mi pare anche sensato come polinomio...
Quindi, se devo trovare il polinomio minimo di $x$ in $QQ(y)$ ad esempio, devo vedere tutte le immagini di $x$ dei $QQ(y)$-automorfismi... ma il campo sopra come lo devo scegliere in genere?
Cioè, nell'esempio sopra tu hai preso come campo $QQ(\zeta_7)$ e hai considerato, per le immagini di $\zeta^3 +\zeta^5 +\zeta^6$, solo gli elementi di $Gal_(QQ)(QQ(\zeta))$... e anche nell'esempio dopo, abbiamo considerato solo gli elementi di $Gal_(QQ(\alpha))(QQ(\zeta))$... come mai questo?
Quindi, se devo trovare il polinomio minimo di $x$ in $QQ(y)$ ad esempio, devo vedere tutte le immagini di $x$ dei $QQ(y)$-automorfismi... ma il campo sopra come lo devo scegliere in genere?
Cioè, nell'esempio sopra tu hai preso come campo $QQ(\zeta_7)$ e hai considerato, per le immagini di $\zeta^3 +\zeta^5 +\zeta^6$, solo gli elementi di $Gal_(QQ)(QQ(\zeta))$... e anche nell'esempio dopo, abbiamo considerato solo gli elementi di $Gal_(QQ(\alpha))(QQ(\zeta))$... come mai questo?
Perché conviene! In generale se hai a che fare con un elemento $a in CC$ algebrico su $QQ$ per capire cosa succede lo metti in una chiusura normale di $QQ(a)$, cioè un c.r.c. per il polinomio minimo di $a$. Così ci sono tutte le radici, sei in un'estensione di Galois e le cose sono facili.
Non so se mi sono spiegato bene, forse se ti fai altri esempi ti risulterà più chiaro.
Non so se mi sono spiegato bene, forse se ti fai altri esempi ti risulterà più chiaro.
Si si che conveniva l'avevo capito, quello che non avevo capito era se era lecito passare a una chiusura normale 
Quindi se ora ho capito bene, tornando per esempio all'esercizio di prima, poichè $\alpha \in QQ(\zeta)$ e quindi $QQ(\alpha) \sube QQ(\zeta)$ estensione di Galois che "conosciamo bene", ci troviamo gli automorfismi di $Gal_(QQ)(QQ(\zeta))$ e poi li applichiamo a $\alpha$ studiandoci le immagini, operazione lecita perchè $\alpha \in QQ(\zeta)$.
Infine per la parte successiva, il nostro elemento è proprio $\zeta$ e quindi consideriamo semplicemente $Gal_(QQ(\alpha))(QQ(\zeta))$ e relativi automorfismi, applicandoli a $\zeta$ e trovandone le immagini.
Ho detto baggianate?
Quindi se ora ho capito bene, tornando per esempio all'esercizio di prima, poichè $\alpha \in QQ(\zeta)$ e quindi $QQ(\alpha) \sube QQ(\zeta)$ estensione di Galois che "conosciamo bene", ci troviamo gli automorfismi di $Gal_(QQ)(QQ(\zeta))$ e poi li applichiamo a $\alpha$ studiandoci le immagini, operazione lecita perchè $\alpha \in QQ(\zeta)$.
Infine per la parte successiva, il nostro elemento è proprio $\zeta$ e quindi consideriamo semplicemente $Gal_(QQ(\alpha))(QQ(\zeta))$ e relativi automorfismi, applicandoli a $\zeta$ e trovandone le immagini.
Ho detto baggianate?
P.S. Perfetto, fatto due esercizi simili e sono venuti senza intoppi... grazie mille 
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