Teoria di Galois, chiusura normale e gruppi di Galois
Ciao.
Vorrei sapere cosa pensate di questo ragionamento, ogni suggerimento o miglioria è più che benvenuto.
Ho una torre di campi $ K \subset K_1\subset K_2 $, con $K_1|K$ e $K_2|K_1$ Galois (si noti che ciò non implica che $K_2|K$ sia Galois!). Siano $H_1=Gal(K_1|K) $ e $H_2=Gal(K_2|K_1)$. Sia $N$ la chiusura di Galois di $K_2$ su $K$ (in $ \bar K$). Questa è Galois su tutto ciò che sta sotto: sia $G_1=Gal(N|K_1) $. Ora, $N$ è il composto di tutti i $K$-coniugati di $K_2$, che sono tutti $K$-isomorfi. Ma allora $G_1$ è il prodotto dei gruppi $Gal(\sigma K_2|K_1) $ ciascuno dei quali è isomorfo a $H_2$. Dunque $G_1$ è isomorfo ad un prodotto di copie di $H_2$.
Problemi? Qualcosa che richiede più dettagli, ipotesi mancanti, strafalcioni grossolani?
Vorrei sapere cosa pensate di questo ragionamento, ogni suggerimento o miglioria è più che benvenuto.
Ho una torre di campi $ K \subset K_1\subset K_2 $, con $K_1|K$ e $K_2|K_1$ Galois (si noti che ciò non implica che $K_2|K$ sia Galois!). Siano $H_1=Gal(K_1|K) $ e $H_2=Gal(K_2|K_1)$. Sia $N$ la chiusura di Galois di $K_2$ su $K$ (in $ \bar K$). Questa è Galois su tutto ciò che sta sotto: sia $G_1=Gal(N|K_1) $. Ora, $N$ è il composto di tutti i $K$-coniugati di $K_2$, che sono tutti $K$-isomorfi. Ma allora $G_1$ è il prodotto dei gruppi $Gal(\sigma K_2|K_1) $ ciascuno dei quali è isomorfo a $H_2$. Dunque $G_1$ è isomorfo ad un prodotto di copie di $H_2$.
Problemi? Qualcosa che richiede più dettagli, ipotesi mancanti, strafalcioni grossolani?
Risposte
Le corrispondenze di Galois invertono le inclusioni. Quindi il composto di campi non va in un prodotto di gruppi ma in un'intersezione. Inoltre mi confondono un po' le tue notazioni perché scrivere [tex]Gal(\sigma K_2 | K_1)[/tex] è rischioso perché [tex]\sigma[/tex] potrebbe muovere [tex]K_1[/tex]. Dove lo prendi [tex]\sigma[/tex] ?
Le corrispondenze di Galois invertono le inclusioni. Quindi il composto di campi non va in un prodotto di gruppi ma in un'intersezione.
I campi di cui sto facendo il composto non stanno in nessuna relazione di inclusione, un riferimento al fatto che il gruppo di galois di un composto sia il prodotto dei gruppi è Lang, Algebra 3rd ed, pag 267 thm 1.14
Dove lo prendi $\sigma$ ?
Nel gruppo di Galois assoluto di $K$. È vero che può muovere $K_1$, ma poiché $\sigma K_2$ è isomorfo su $K$ a $K_2$ allora contiene un sottocampo L tale che l'estensione $\sigma K_2|L$ è isomorfa a $K_2|K_1$ e con $Gal(\sigma K_2|K_1) $ intendo $Gal(\sigma K_2|L) $.
Su quest'ultimo passaggio ho qualche perplessità in più, se riuscite a dirmi bene se e dove sbaglio vi sarei molto grato
Prima mi sono sbagliato, dal fatto che [tex]K_1 | K[/tex] è Galois segue che [tex]K_1[/tex] è stabile cioè [tex]\sigma K_1 = K_1[/tex] per ogni [tex]\sigma[/tex]. In altre parole con le tue notazioni si ha [tex]L = K_1[/tex].
Per applicarlo nel modo che dici (tra parentesi, quando dici prodotto intendi prodotto diretto? Immagino di sì) devi quantomeno avere che i coniugati di [tex]K_2[/tex] si intersecano in [tex]K_1[/tex]. Questo non è vero in generale (ci possono essere altri intercampi stabili tra [tex]K_1[/tex] e [tex]K_2[/tex]).
NB. I [tex]K_1[/tex], [tex]K_2[/tex] di cui parliamo io e te non sono gli stessi del teorema riportato sopra.
"mickey88":Lo metto qui per chiarezza:
un riferimento al fatto che il gruppo di galois di un composto sia il prodotto dei gruppi è Lang, Algebra 3rd ed, pag 267 thm 1.14
Per applicarlo nel modo che dici (tra parentesi, quando dici prodotto intendi prodotto diretto? Immagino di sì) devi quantomeno avere che i coniugati di [tex]K_2[/tex] si intersecano in [tex]K_1[/tex]. Questo non è vero in generale (ci possono essere altri intercampi stabili tra [tex]K_1[/tex] e [tex]K_2[/tex]).
NB. I [tex]K_1[/tex], [tex]K_2[/tex] di cui parliamo io e te non sono gli stessi del teorema riportato sopra.
E' vero, sappiamo solo che $Gal(N|K_1)$ è un sottogruppo di un prodotto di copie di $Gal(K_2|K_1)$.
Abbiamo motivo di credere che sia normale?
Abbiamo motivo di credere che sia normale?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo