Teoria di Galois
Ciao..dovrei dimostrare che ogni campo finito con $p^n$ elementi contiene un sottocampo di $p^m$ elementi dove p è un numero primo e dove n è un naturale e m è un divisore positivo di n.
Io so che devo applicare il teorema fondamentale della teoria di Galois..ma in che modo? Potreste spiegarmi i passaggi da fare?grazie mille!
Io so che devo applicare il teorema fondamentale della teoria di Galois..ma in che modo? Potreste spiegarmi i passaggi da fare?grazie mille!
Risposte
Sia $k$ un campo di $p^n$ elementi.
Sia $\phi:k\rightarrow k$ l'automorfismo di Frobenius.
Si ha quindi che $\phi(x)=x^p$ per ogni $x\in k$.
Il fatto che gli elementi $x\in k$ soddisfano $x^{p^n}=x$,
fa vedere che l'ordine del gruppo $G$ generato da $\phi$ e' $n$.
Per ogni divisore $m$ di $n$ c'e' un unico sottogruppo $H$ di $G$
di indice $m$, vale a dire il sottogruppo generato da $\phi^m$.
Per la teoria di Galois, il sottocampo $k'$ degli elementi fissati
da $H$ ha grado $m$ su $F_p$ ed ha quindi $p^m$ elementi.
Alternativamente si puo' osservare che $k'=\{x\in k: x^{p^m}=x \}$
e' un sottocampo di $k$ di $p^m$ elementi perche' il
polinomio $X^{p^m}-X$ divide $X^{p^n}-X$ ed ha quindi $p^m$ zeri in $k$.
Sia $\phi:k\rightarrow k$ l'automorfismo di Frobenius.
Si ha quindi che $\phi(x)=x^p$ per ogni $x\in k$.
Il fatto che gli elementi $x\in k$ soddisfano $x^{p^n}=x$,
fa vedere che l'ordine del gruppo $G$ generato da $\phi$ e' $n$.
Per ogni divisore $m$ di $n$ c'e' un unico sottogruppo $H$ di $G$
di indice $m$, vale a dire il sottogruppo generato da $\phi^m$.
Per la teoria di Galois, il sottocampo $k'$ degli elementi fissati
da $H$ ha grado $m$ su $F_p$ ed ha quindi $p^m$ elementi.
Alternativamente si puo' osservare che $k'=\{x\in k: x^{p^m}=x \}$
e' un sottocampo di $k$ di $p^m$ elementi perche' il
polinomio $X^{p^m}-X$ divide $X^{p^n}-X$ ed ha quindi $p^m$ zeri in $k$.
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