[Teoria delle categorie?]Limite induttivo
Avevo pensato di consultare il classico Functional Analysis di K. Yosida ma purtroppo mi sono bloccato già a pagina 28.
L'argomento in questione è la costruzione di una opportuna topologia sullo spazio vettoriale delle funzioni differenziabili infinite volte e a supporto compatto contenuto nell'aperto [tex]\Omega[/tex] di [tex]\mathbb{R}^n[/tex].
Preliminarmente l'autore definisce, per ogni [tex]K \subset \Omega[/tex] compatto, uno spazio vettoriale topologico [tex]\mathcal{D}_K(\Omega)[/tex] i cui elementi sono le funzioni differenziabili infinite volte e aventi supporto in [tex]K[/tex]. Poi nota che se [tex]K_1 \subset K_2[/tex] allora la topologia di [tex]\mathcal{D}_{K_1} (\Omega)[/tex] è la stessa che si otterrebbe considerandolo come un sottospazio di [tex]\mathcal{D}_{K_2}(\Omega)[/tex]. Grazie a questo,
Che cos'è questo "limite induttivo", e perché mantiene la proprietà di essere uno spazio vettoriale topologico? Ma soprattutto, è qualcosa che si può spiegare in poche parole o è meglio se guardo su qualche altro testo?
L'argomento in questione è la costruzione di una opportuna topologia sullo spazio vettoriale delle funzioni differenziabili infinite volte e a supporto compatto contenuto nell'aperto [tex]\Omega[/tex] di [tex]\mathbb{R}^n[/tex].
Preliminarmente l'autore definisce, per ogni [tex]K \subset \Omega[/tex] compatto, uno spazio vettoriale topologico [tex]\mathcal{D}_K(\Omega)[/tex] i cui elementi sono le funzioni differenziabili infinite volte e aventi supporto in [tex]K[/tex]. Poi nota che se [tex]K_1 \subset K_2[/tex] allora la topologia di [tex]\mathcal{D}_{K_1} (\Omega)[/tex] è la stessa che si otterrebbe considerandolo come un sottospazio di [tex]\mathcal{D}_{K_2}(\Omega)[/tex]. Grazie a questo,
"Yosida":che verrà denotato [tex]\mathcal{D}(\Omega)[/tex].
Then the (strict) inductive limit of [tex]\mathcal{D}_K[/tex]'s, where [tex]K[/tex] ranges over all compact sets of [tex]\Omega[/tex], is a locally convex linear topological space.
Che cos'è questo "limite induttivo", e perché mantiene la proprietà di essere uno spazio vettoriale topologico? Ma soprattutto, è qualcosa che si può spiegare in poche parole o è meglio se guardo su qualche altro testo?
Risposte
Il limite induttivo dei $D_K$ è uno spazio vettoriale topologico $D$ dotato di morfismi di spazi vettoriali topologici (e questo verosimilmente significa funzioni lineari e continue) $pi_K: D_K to D$ compatibili con le restrizioni relative alle inclusioni $K sube H$ (nel senso che se componi la restrizione $D_H to D_K$ col morfismo $pi_K: D_K to D$ ottieni il morfismo $pi_H$) e della seguente proprietà universale:
Proprietà universale del limite induttivo di spazi vettoriali topologici: per ogni spazio vettoriale topologico $E$ dotato di morfismi $D_K to E$ compatibili con le restrizioni esiste un unico morfismo $D to E$ tale che il morfismo $D_K to E$ è la composizione $D_K to D to E$, e questo per ogni $K$.
In genere un tale oggetto universale $D$ si indica con [tex]\underset{\rightarrow} \lim D_K[/tex].
Il limite induttivo si può definire in ogni categoria, ma non sempre esiste.
Per esempio nella categoria degli insiemi il limite induttivo di una famiglia di insiemi è la loro unione (e i morfismi compatibili sono le inclusioni).
Penso che puoi pensare a questo limite induttivo come allo spazio delle funzioni (differenziabili infinite volte) a supporto compatto.
Proprietà universale del limite induttivo di spazi vettoriali topologici: per ogni spazio vettoriale topologico $E$ dotato di morfismi $D_K to E$ compatibili con le restrizioni esiste un unico morfismo $D to E$ tale che il morfismo $D_K to E$ è la composizione $D_K to D to E$, e questo per ogni $K$.
In genere un tale oggetto universale $D$ si indica con [tex]\underset{\rightarrow} \lim D_K[/tex].
Il limite induttivo si può definire in ogni categoria, ma non sempre esiste.
Per esempio nella categoria degli insiemi il limite induttivo di una famiglia di insiemi è la loro unione (e i morfismi compatibili sono le inclusioni).
Penso che puoi pensare a questo limite induttivo come allo spazio delle funzioni (differenziabili infinite volte) a supporto compatto.
Grazie, Martino! Visto che ci siamo, mi consiglieresti un testo introduttivo di teoria delle categorie, da consultare (se e ) quando ne avrò il tempo? Qualcosa di molto "basic".
"dissonance":Non saprei, io non ho studiato le categorie su un libro, ma ad un corso all'università. Prova a leggere questo, è una cosa che sto scrivendo (vd. capitolo 2). Purtroppo ci possono essere degli errori (continuo a trovare piccoli errori e imprecisioni quindi non ti assicuro niente). Se ti serve posso mandarti per email gli appunti che ho preso al corso, ma anche lì ci potrebbero essere errori.
Grazie, Martino! Visto che ci siamo, mi consiglieresti un testo introduttivo di teoria delle categorie, da consultare (se e ) quando ne avrò il tempo? Qualcosa di molto "basic".
E' vero, che scemo! 
Ero rimasto alle prime versioni del tuo pdf, quando ancora non avevi parlato di categorie. Ma adesso vedo che si è parecchio evoluto, e che parli anche di limiti. Bellissima la citazione di Stallone! 
Ero rimasto alle prime versioni del tuo pdf, quando ancora non avevi parlato di categorie. Ma adesso vedo che si è parecchio evoluto, e che parli anche di limiti. Bellissima la citazione di Stallone!
"dissonance":Mi ha praticamente cambiato la vita
Bellissima la citazione di Stallone!
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