Teoria delle Categorie: Esempi, esercizi e dubbi

[Clopen Johnny]

Buongiorno,

Sono nuovo qui in mezzo e sto cercando di avvicinarmi alla Teoria delle Categorie, per ora senza eccessivo successo.

Entusiasta della chiarezza delle risposte date in altri Thread
Avrei alcune domande, tanto per iniziare

A livello concettuale qual è la differenza tra Categoria e MetaCategoria?

Considerando Due monoidi X e Y come singole categorie, quindi mi verrebbe da dire monoide come caso estremale (un oggetto: il singoletto, tante frecce: gli elementi),
potrei avere l' esempio esplicito di due Funtori paralleli tra le due (omomorfismi di Monoidi???) e di una trasformazione Naturale tra questi?

[j18eos]

Benvenuto!

"Clopen Johnny":...Considerando due monoidi \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle Y\) come singole categorie, quindi mi verrebbe da dire monoide come caso estremale (un oggetto: il singoletto, tante frecce: gli elementi), potrei avere l'esempio esplicito di due funtori paralleli tra le due (omomorfismi di monoidi???)...

Sì, in questo esempio i morfismi di monoidi assieme alla funzione identica determinano i funtori dalla categoria \(\displaystyle X\) alla categoria \(\displaystyle Y\)!

[killing_buddha]

"Clopen Johnny":A livello concettuale qual è la differenza tra Categoria e MetaCategoria?

Si tratta essenzialmente di un dettaglio fondazionale all'interno della teoria degli insiemi di Mac Lane. Una "metacategoria" e' un qualsiasi modello per la teoria del primo ordine \(\text{Th}({\bf Cat})\), e una "categoria" e' invece quello che piu' ingenuamente si chiama "categoria piccola".

La prassi di distinguere metacategorie da categorie che io sappia sopravvive solamente in due fonti classiche: il libro di Mac Lane e "The Joyof Cat". Quello che si preferisce fare oggi e' strutturare la teoria attorno alla teoria degli insiemi di Tarski-Grothendieck, dove si parla di "insiemi universo" e si postula l'esistenza di un universo \(\mho\) nel quale e' contenuto "ogni" insieme che usiamo nella pratica matematica quotidiana (piu' tecnicamente: l'universo contiene $\omega$ per definizione; le proprieta' di chiusura dell'universo assicurano che "non si puo`" uscire da \(\mho\)).
Scelte piu' raffinate possono essere postulare l'esistenza di una gerarchia cumulativa (se esiste un cardinale inaccessibile $\kappa$ -essenzialmente la cardinalita' di \(\mho\), dunque l'assioma degli universi garantisce l'esistenza di $\kappa$-, allora \(V_\kappa = P(P(P(\dots P(\varnothing)\dots)))\), dove l'operazione di prendere l'insieme potenza e'ripetuta $\kappa$ volte, e' un modello di ZF). Oppure, avendo bisogno di "uscire" dall'universo dove hai iniziato a lavorare, e' utile postulare l'esistenza di una gerarchia di universi (nella pratica, due sono sufficienti, sicche' ti basta considerare due universi \(\mho^+ \supset \mho\)).

Considerando Due monoidi X e Y come singole categorie, quindi mi verrebbe da dire monoide come caso estremale (un oggetto: il singoletto, tante frecce: gli elementi),
potrei avere l' esempio esplicito di due Funtori paralleli tra le due (omomorfismi di Monoidi???) e di una trasformazione Naturale tra questi?

Questi esercizi di negative thinking sono buoni per iniziare, fanne molti
Se guardi all'immersione di \({\bf Mon}\) in \(\bf Cat\) che vede ogni monoide $M$ come una categoria \({\bf B}M\) con un solo oggetto, i funtori \({\bf B}M \to {\bf B}N\) diventano esattamente gli omomorfismi di monoide; una trasformazione naturale tra omomorfismi di monoide \(f,g\colon {\bf B}M \rightrightarrows {\bf B}N\) consta di un elemento $n\in N$ tale che per ogni $m\in M$ si abbia \(n\cdot f(m) = g(m) \cdot n\). Questa nozione e' relativamente banale se $N$ e' abeliano e cancellativo, e pure in generale (per esempio, le trasformazioni naturali da $f$ in se' stesso sono solo l'identita').

Un altro esercizio: prova a pensare a "chi e`" l'insieme \( \{ (m,n) \mid n f(m) = g(m) n \}\subseteq M\times N \). Ha una proprieta' universale?
E ancora, cos'e' una trasformazione naturale tra omomorfismi di gruppo? E una trasformazione naturale tra funzioni monotone?