Teoria dei numeri: quali i nomi dei maggiori esperti in IT?

avinerba
Salve a tutti,

avrei bisogno del vostro aiuto.

Quali sono i nomi dei Matematici italiani, esperti nel campo della Teoria dei Numeri?

In rete, non ne ho trovati molti. Ho trovato ad esempio il Prof. Zaccagnini.

Altri nomi?

Un grazie in anticipo a tutti,

Andrea Vinerba
PQSearch

Risposte
eugeniodisalvatore
Si dice:
<< se questa uguaglianza fosse vera DOVREBBE essere: .
Io contesto proprio ciò: se fosse vera quell'uguaglianza chi ti dice che DOVREBBE valere.... ?>>

Rispondo:
Nella risoluzione di un problema, in questo caso di una dimostrazione, bisogna operare intelligentemente (cioè ponendosi un preciso obiettivo) , cioè opportunamente (naturalmente secondo le leggi della scienza che si sta utilizzando. La vera definizione dell'intelligenza (di cui esiste quella bestiale o sensitiva, quella umana o razionale, quella robotica o ripetitiva ed infantile), sewcondo è : la capacità decisionale nella risoluzione di un problema, dove per DECISIONE, questo lo insegna la ricerca opereativa, s'intende: la scelta fra più alternative BEN CONOSCIUTE8da qui si capisce che l'intelligenza umana, ma anche bestiale è UN PRODOTTO Sperimentale, come una reazione chimica, cioiè una persona non può decidere se non sa.
Mi raccomando,non mi dite di usare le potenze in un certo modo, questo lo so fare in Windows e qui no, e poi queste sono fesserie: pensate che ho imparato il computer, quando ci invitavano di usarlo nell'insegnamento ed avevo circa 50 anni, v oi siete fortunati oggi pechè nascete con il computer in mano, mentre io quando ho iniziato per il mio lavoro, non sapevo nemmenocos'era l'MSDOPS, però ho utizzato intelligentemente , facendo dei programmi in linguaggio Pascal inventati la mattina, utilizzando l'MSDOS (dir, copy, formet, ecc..) per poter imparare la tastiera, il word star per scrivere e ripetere in gruppo le mie lezioni
ecc..., al punto che allora, cioè circa 20 anni fa, alla fine del corso tutti v olevano il computer dai genitori.

Allora, ritornando a noi dalla nostra uguaglanza possiamo scrivere :
a^n = a*a(n-1) = a^2*a^(n-2) =.... = c^n-b^n = (c-b)* ecc....
Fra tutte queste possibilità di uguaglianze scelgo, INTELLIGENTEMENTE, quella più opportuna per cui si ha:
a*a^(n-1)= (c-b)*[c^(n-1)+...+b^(n-1)]
dal cui confronto si può dire che possono essere uguali se ecc...
Spero che sia chiaro e che vi siate convinti, altrimenti non rispondo più.
Io quando ho letto qualcosa su un gironale scientifico, non ho mai trovato tutti i passaggi di quanto assrito ma solo i risultati mentre i passaggi se li dev trovare l'interessato.

Fioravante Patrone1
"eugeniodisalvatore":

Spero che sia chiaro e che vi siate convinti, altrimenti non rispondo più.
Io quando ho letto qualcosa su un gironale scientifico, non ho mai trovato tutti i passaggi di quanto assrito ma solo i risultati mentre i passaggi se li dev trovare l'interessato.


Nessuno ti obbliga a rispondere a chicchessia. Vale anche il viceversa, ovviamente.


Ti posso garantire che se un referee ti chiede spiegazione di qualche passaggio e tu non la dai, te lo scordi che il tuo lavoro sia pubblicato.
E ti posso anche garantire che si risponde molto gentilmente ai referee. Anche perché il lavoro di referee è (in matematica) fatto gratuitamente e spesso è anche una gran rottura, per cui i referee vanno rispettati (e se non sono rispettati, questi si inca..ano). Ah, e non metterti a spiegargli cosa è l'intelligenza: i referee sono molto suscettibili e potrebbero pensare che dubiti della loro.

Così, tanto per saperlo, visto che tu hai mandato un tuo lavoro ad una rivista scientifica.

eugeniodisalvatore
Quando rispondo io non so se parlo con un Referee o non e sinceramente non pensavo che ad un Forum partecipassero, visto che il loro lavoro è molto più importante.
Poi Lei è suscettibile, perchè chi può dubitare dell'intelligenza di una persona che non si conosce ed anche se si conoscesse.
Io ho parlato di intelligenza solo per spiegare a chi non riusciva a capire il mio ragionamento, pechè nella risoluzione di un problema bisogna scegliere la via più opportuna.
Pittosto che ne pensi di quello che ho detto sull'intelliogenza: ci sono altre definizioni ed io sono convinto che non si nasce intelligenti, ma lo si diventa con l'espewrienza.
Tu , ho ,capito, sei un Referee e tanto rispetto per il tuo lavoro, però un lavoro non può essere valutato da un solo Referee, come mi è capitato conla rivista Archimede, ma da tre Referee che tra loro,sperando, non si conoscono così mi diceva un docente di algebra che ho conosciuto direttamente ed era molto paziente ed umano.
Comunque sei stato tu a cercare di offendewrmi diecendo, indirettamente, che sono (stato) un mangiapane a tradimento: è naturale che ad "azione c'è una reazione uguale e contraria" 3° principio della dinamica.

eugeniodisalvatore
Gent.mo Sergio questo vuol dire discutere e controbilanciare, senza fermarsi ad oservazioni generiche.
Ci sto pensando e già ho individuato come intervenire e, magari, aggiustare la mia dimostrazione anche nel caso che n=2.
Ci sto pensando pewrchè mi capita che,se sto molto tempo a scrivere una e-mail, la perdo.
Ti risponderò presto e spero questa mattina.
Intanto ti faccio i miei migliori auguri del Santo Natale

alvinlee881
Tanto per la cronaca: non parlare di come si affrontano problemi di matematica e di cosa sia l'intelligenza in un forum di matematica, perchè sembri davvero saccente.
Sergio ha semplicemente avuto la pazienza INFINITA di metterti per esplicito e in maniera più chiara possibile quello che io altri utenti abbiamo cercato di farti notare, cioè che la dimostrazione non vale nulla in quanto il passaggio chiave, che ti conduce all'assurdo, cioè l'implicazione "uguaglianza vera--->$a=c-b$" non è giustificata, anzi, come ha fatto notare sergio giustamente, è il teorema di Fermat con un vestito diverso.
Fai le scelte oppourtune come vuoi, sii intelligente quanto vuoi, ma non accusarci di fare "osservazioni generiche": più verosimilmente, hai letto superficialmente i nostri post, e hai finalmente capito l'errore logico grazie a Sergio.

Se uno dicesse, sempre nell'insieme Z, "$a+b=0$, quindi $a=b=0$" verrebbe giustiamente criticato in quanto l'implicazione è sbagliata. Non dovrebbe esserci bisogno di uno che gli venga a dire "no guarda, è sbagliata perchè potrebbe anche essere $a=-b$: o meglio, nulla di male se si ha bisogno di questo controesempio, ma non bisogna accusare di fare osservazioni generiche e superficiali chi ha proposto la questione (reputando "scontato" che si capisse autonomamente l'errore), perchè non ci si fa bella figura.
Detto questo, ricambio gli auguri di buon natale.

Fioravante Patrone1
"eugeniodisalvatore":

Io ho parlato di intelligenza solo per spiegare a chi non riusciva a capire il mio ragionamento, pechè nella risoluzione di un problema bisogna scegliere la via più opportuna.

no comment

detto altrimenti: :shock: :shock: :shock:

alvinlee881
"eugeniodisalvatore":

Io ho parlato di intelligenza solo per spiegare a chi non riusciva a capire il mio ragionamento, pechè nella risoluzione di un problema bisogna scegliere la via più opportuna.


Mi verrebbe da quotare Fioravante e semplicemente ignorarti, ma sono masochista e voglio chiederti:
ti è passata per l'anticamera del cervello la remota idea che se ti abbiamo contestato non è perchè "non siamo riusciti a capire il tuo ragionamento", ma perchè effettivamente era un ragionamento sbagliato?
Quello che te dici, che bisogna scegliere la via più opportuna, è una totale OVVIETA' per chi ha un minimo di pratica con queste faccende (e io sono il più ignorante qui dentro), quindi non c'è affatto bisogno che tu ci dia lezioni.

alvinlee881
"eugeniodisalvatore":

Mi raccomando,non mi dite di usare le potenze in un certo modo, questo lo so fare in Windows e qui no, e poi queste sono fesserie: pensate che ho imparato il computer, quando ci invitavano di usarlo nell'insegnamento ed avevo circa 50 anni, v oi siete fortunati oggi pechè nascete con il computer in mano, mentre io quando ho iniziato per il mio lavoro, non sapevo nemmenocos'era l'MSDOPS, però ho utizzato intelligentemente , facendo dei programmi in linguaggio Pascal inventati la mattina, utilizzando l'MSDOS (dir, copy, formet, ecc..) per poter imparare la tastiera, il word star per scrivere e ripetere in gruppo le mie lezioni
ecc..., al punto che allora, cioè circa 20 anni fa, alla fine del corso tutti v olevano il computer dai genitori.

Allora, Bill Gates, non avrai problemi a infilare due simboli di dollaro nelle tue esposizioni matematiche (a meno che il tuo computer non supporti il linguaggio).

eugeniodisalvatore
Senz'altro è così, ma ci vuole anche la capacità a ricercare la via per decidewre: cosa che avviene solo con l'esperienza e dopo molti tentativi. Come ti spieghi che il problema di Fermat è durato circa 400 anni per ssere finalmente risolto hymalaianamente,, dopo tantissimi e storici tentativi di grandi uomini.C'era senz'altro tanta pèreparazione matematica ma mancava la capacità di ricerca.
Io dico e grido una cosa, che senz'altro dispiacerà a molti: in fondo il problema di Fedrmat non è poi tanto un grosso problema: se io fossi stato, però con la mia mentalità, un ricercatore lo avrei risolto bene emglio di quanto ho fatto puer essendo carente di tanti argomenti di Matematica perchè non sono un vero matematico ma amante ed appasionato della matematica , questa grande scienza razionale che si studia stando solo a tavolino e non in un grande laboratorio.

eugeniodisalvatore
Rispondo completamente a Sergio, che dice:
<< e l’interessato, infatti, li cerca. Il problema è che non li trova>>
R.: ma se è un documento pubblicato ( a questo mi riferivo e non al mio caso) li deve trovare perché sono stati già valutati;
<< poi dici che questa uguaglianza è falsa perché, se se fosse vera, si avrebbe l’assurdo a = c-b . Domanda: e perché dovrebbe essere a = c-b?; sembri quasi assumere che, perché si abbia m*n = p*q, deve essere m = p ed n = q e questo non lo hai dimostrato ( e mi sembra piuttosto difficile )>> ;
R. : secondo me non è necessaria una dimostrazione che m = p ed n = q, perché la moltiplicazione gode della proprietà commutativa, quindi si può considerare a piacere il confronto tra una qualsiasi coppia di fattori;
<< quindi i casi sono due:
a) dimostri che a*a n-1 = (c-b)(c n-1 + …+b n-1) è possibile solo se a = c-b ed a n-1 = c n-1 +…+b n-1 e questo solo se n>2 ;
R. : questo è impossibile per due motivi:
a = c-b => c=a+b e ciò è assurdo perché deve essere c < a+b, sia per n=2 che per n>2;
la seconda uguaglianza è impossibile perché per Hp è c > a, per cui è già a n-1 < c n-1 ;
b) oppure la tua non è altro che una riformulazione del T. di Fermat e, quindi, non dimostri nulla;
R. : il problema di Fermat per me è lo stesso, quindi questo caso è da scartare nella nostra discussione; >>
L’unica osservazione di Sergio è quella dell’esempio della relazione pitagorica, uguaglianza suffragata dal teorema di Pitagora che, in effetti, dimostra indirettamente che le superfici pitagoriche sono Universalmente (cioè tutte indistintamente) tra loro sempre commensurabili (a,b,c)+, per cui la mia proposta risolutiva può essere modificata aggiungendo (però solo per includere n=2):
an = (c-b)(c n-1 + …+b n-1) se c-b = 1 => c n-1 + …+b n-1 = an;
questo caso spiega solo l’esempio fatto da te solo per n=2, cioè an =(c-b)(c+b).

eugeniodisalvatore
Mentre io penso e cerco di capire la tua domanda che ho solo letto ,ti do io ora un problema della matematica didattica non di ricerca:
a° =1 :!: ;
(a/b)^-n = (b/a)n :!:
come si fa a dimostrare la regola (che generalmente si fa imparare a memori ai ragazzi, del trasporto fuori della radice ennesima di fattori del radicando :!: .
Non mi dare risposte "ipse dixit" o per convenzione, ma dimostrazione.
Queste cose le facevo sempre ai miei alunni, tanto per abituarli senza richedere molto da loro solo di aver capito. e sono contenute tutte nel mio libro didattico che l'Hoepli mi ha bocciato perchè troppo impegnativo: peccato per le tante cose che gli alunni di un biennio non sapranno da un diverso p. di vista.

Fioravante Patrone1
"eugeniodisalvatore":
Mentre io penso e cerco di capire la tua domanda che ho solo letto ,ti do io ora un problema della matematica didattica non di ricerca:
a° =1 :!: ;
(a/b)^-n = (b/a)n :!:
come si fa a dimostrare la regola (che generalmente si fa imparare a memori ai ragazzi, del trasporto fuori della radice ennesima di fattori del radicando :!: .
Non mi dare risposte "ipse dixit" o per convenzione, ma dimostrazione.
Queste cose le facevo sempre ai miei alunni, tanto per abituarli senza richedere molto da loro solo di aver capito. e sono contenute tutte nel mio libro didattico che l'Hoepli mi ha bocciato perchè troppo impegnativo: peccato per le tante cose che gli alunni di un biennio non sapranno da un diverso p. di vista.

Lunga vita alla Hoepli, custode del sapere matematico e della lingua italiana.

Ribadisco la mia costernazione al pensare ai suoi ex-studenti.

fedeb2
:-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D

uno a zero. palla al centro...

GIOVANNI IL CHIMICO
Senza volerti mancare di rispetto, Eugenio, ma dovresti usare magggiore umiltà, noi non siamo ragazzini capricciosi che non vogliono imparare la tua dimostrazione, è che semplicemente è sbagliata.
D'altra parte credo che tu faccia poco onore alla tua intelligenza affermando di aver trovato ben 7 /8 dimostrazioni dell'UTF, nonchè affermando che i matematici del passato che si sono occupati del problema hanno fallito perchè non sapevano dove indirizzare i loro sforzi.

eugeniodisalvatore
Proprio io dovrei essere umile e quegli altri che hanno iniziato a dire (veramente è stato il primo e gli altri direttamente o in direttamente hanno confermato od appoggiato) che manco di logica, che sono stato una nullità come insegnante, ho mangiato pane a tradimento: sono loro che sono così!, anche perchè non hanno alcuna curiosità scientifica e c'è qualcuno che ha detto di non andare mai a visitare il mio sito per principio.
Ho ricevuto delle e-mail di persone veramente intelligenti e costruttive non distruttive in ogni senso (ed ho visto in internte che sono docenti molto importanti e conosciuti) che si sono dichiarati dispiaciuti di quanto è successo e che molti mi apprezzano per i lavori che faccio anche se non danno alcun giudizio, ma almeno apprezzano chi lavora.

Fioravante Patrone1
"eugeniodisalvatore":
ho mangiato pane a tradimento: sono loro che sono così!

visto che è la seconda volta che ne parli, penso sia opportuno che io citi quanto ho detto:
"Massimo rispetto per chi insegna nelle scuole di ogni ordine e grado. Ho conosciuto e conosco un sacco di insegnanti molto migliori di certi mangiapane a tradimento che si trovano all'Università."

Quanto tu affermi riconferma solo la tua scarsa dimestichezza con la logica e con la lingua italiana.



Riguardo a: "c'è qualcuno che ha detto di non andare mai a visitare il mio sito per principio"
Io mi auguro che gli utenti e i visitatori del forum non siano dei minus habentes.
Se anche qualcuno dicesse una cosa simile, per quanto mi riguarda mi entrerebbe da un orecchio per uscirne immediatamente da un altro.

GIBI1
Caro eugeniodisalvatore non prendertela, il fatto è che in questo forum nessuno è stato in grado di apprezzare le tue rivoluzionarie idee. Capita, può capitare a tutti, fa parte della vita.
Divertiti e buon anno.

_Tipper
Ehm... parmi di non aver colto le idee rivoluzionarie da apprezzare cui ti riferisci... :|

eugeniodisalvatore
Riassumando quanto è accaduto, si stanno cam,bindo le carte in tavole:
- io che sono stato beffeggiato e deriso in generale, senza quasi mai specificità, devo essere più umile;
- solo una volta mi sono state poste delle critiche e domande specifiche, a cui ho riposto;
- c'è stato che direttamente ha detto che sono stato un danno per i miei alunni ed INDIRETTAMENTE che sono
stato un mangiatore di pane a tradimento nel lavoro;
- c'è chi dice che dovrei ridurre , per umiltà, il numero di proposte risolutive dell'U.P.F.: ma avere più proposte
risolutive, una diversa dall'altra, non fa capire meglio il problema?:
- chi contyro di me parla dei "minus habentes", che non conosco direttamente nel significato ma che capisco circa
così: che hanno ninorità intelletiva o quasi;
Tutto quello che ho fatto (ed ho speso tanti soldi solo per passione e per un semplice confronto) è un'offesa alla intelligenza degli altri?.
All'inizio di questa mia esperienza, che considero del tutto positiva ma conoscitiva della mentalità cattiva (intelligenza maligna e pettegola, ma pur sempre intelligenza è) di alcuni, perchè so che non sono tutti, ho inviato la mia prima proposta risolutiva in nword star ed in italiano ai compartimenti di matematica delle Università di tutte le capitali delle mondo, con R.R., a partiire dalla Matematische institut der Georgea Augusta Universitat di Gottingen ( scusate se non l'ho scritta bene perchè non conosco il tedesco ma solo francese ed inglese ,ma potevo anche vedere tra il mio archivio dove è tutto documentato)e con cui ho avuto una gentile corrispondenza tanto per capire meglio il problema di Fermat. Il mio intento era quello di avere qualche delucidazione e colloquio di quanto dicevo.
Nella mia vita lavorativa professionale da chimico industriale ho incontrato subito persone cattive , che inizialmente apprezzavano i miei lavori che loro esperti mi davano: ho risolto teoricamente un problema di ricerca bibliografica sul "popcorn butadiene" che ho risolto solo con la mia mentalità chimica e diversamente da come mi dicevano gli ingegneri chimici che se lo portavano dietro da diversi anni; Ho risolto ( almeno io ho dato una spiegazione teorica quindi preventiva del verificarsi del problema da parte degli operatori) il problema di un reattore, il D103, ancora me lo ricordo, di idrogeno elettrolitico inpuro di O2 ed H2 che erano veleni del suo uso successivo nella idrodealchilazione degli alchil aromatici ( si dovevano eliminare per reazione esotermica con l'H2 stesso) e che ogni tanto senza apparente preavviso aumentava le sue condizioni di teperatura e pressione al punto che poteva esplodere e mettere in pericolo la stessa Brindisi,
Dopo due mesi, dei tre mesi di prova, come risultato di tanto lavoro che facevo con tanta passione mi hanno messo in condizione di dare le dimossioni.
A questo punto l'unica cosa che mi resta da fare è dire questa espressione come il "minus habent":
mAri mEri mIri mOri mUri pulchrum est
e laciamo prdewre tuitto, dicendo che abbiamo sbagliato tutto.

alvinlee881
"Sergio":

Be', a questo punto mi arrendo e ti propongo la mia dimostrazione di una riga:
$a^n=a^n-0=c^n-b^n$, ma $a^n!=c^n$ e $0!=b^n$. Fine.

AHAHAH :-D :-D
Dubito che capirà dove sta l'errore....
E dico questo non per cattiveria o pregiudizio (o anche visto il tuo sito), ma semplicemente in base a tutti quello che hai detto e soprattutto che NON hai detto.
1) quarta volta che ti chiedo di infilare simboli di dollaro nei tuoi scritti. Non ho capito se la tua tastiera non ce li ha, o se il tuo computer non supporti il programma, ma se non hai uno di questi 2 problemi devi avere qualche problema di comprensione. E' almeno segno di rispetto per noi che non dobbiamo ammazzarci la vista per leggere cose senza senso.
2) Come detto da Fioravante, hai letto o intepretato male il suo messaggio. Si riferiva ai prof universitari mangiapane a tradimento, affermando altersì che esistevano docenti fantastici nel mondo delle superiori. Hai però dimostrato di non essere fra questi.
3) Nessuno ti ha accusato di essere stato una nullità come insegnante, semplicemente ti abbiamo detto dove sbagli. Un bravo insegnante accetterebbe questo fatto, al limite potrebbe chiedere ulteriori spiegazioni riguardo l'errore, ma non continuerebbe intestardito a supportare la sua tesi sbagliata mostrando una tale ottusità di ragionamento.
4) Ti renderai conto anche te di non poter essere assolutamente nella posizione di esprimere commenti (soprattutto dopo quello che hai scritto) e giudizi su grandi matematici del passato che non avevano "capacità di ricerca". Ma come ti permetti? Non sai nemmeno cos'è, la ricerca matematica, dato che sostieni si svolga in un "grande laboratorio" (Scoperto, con analisi al micoroscopio elettronico, il nuovo gene dei numeri pari...)
e insinui certe cose su persone di cui con ogni probabilità non capiresti mezza riga di dimostrazione?
5)
"eugeniodisalvatore":
come si fa a dimostrare la regola (che generalmente si fa imparare a memori ai ragazzi, del trasporto fuori della radice ennesima di fattori del radicando .

Beh prenditi un libro del biennio delle superiori, dovresti trovarla. Poi se vuoi te la spieghiamo.
6)
"eugenio di salvatore":
secondo me non è necessaria una dimostrazione che m = p ed n = q, perché la moltiplicazione gode della proprietà commutativa, quindi si può considerare a piacere il confronto tra una qualsiasi coppia di fattori

secondo te??? Mi arrendo anch'io: $2*3=1*6$, ma guarda un pò, $2!=1$, $3!=6$, $2!=6$, $3!=1$..o se vuoi $2^3*3^3=24*3^2$, ma $8!=24$, $27!=9$, $8!=9$, $27!=24$. Non pensavo ci sarebbe stato bisogno di arrivare fin qui, a controesempi fra l'altro non riguardanti il problema di Fermat. Devi dimostrare (per davvero, non perchè secondo te è così) quel che dici.
7)
"eugeniodisalvatore":
in fondo il problema di Fedrmat non è poi tanto un grosso problema: se io fossi stato, però con la mia mentalità, un ricercatore lo avrei risolto bene e meglio di quanto ho fatto pur essendo carente di tanti argomenti di Matematica perchè non sono un vero matematico ma amante ed appasionato della matematica

Vorrei farti notare una cosa: non l'hai risolto. Benissimo essere amante e appassionato della matematica (risparmio la ridicola cosa che avevi scritto dopo e che ho già commentato), e ancora meglio se riesci (o sei riuscito) a trasmettere tale passione nei tuoi alunni (sono pochi i prof che ci riescono). Di qui però a dire che la passione possa, da sola, farti risolvere problemi dove hanno fallito persone con ALMENO tanta passione quanto te, ma sicuramente più competenze, ce ne passa. Mai passato per la testa di non essere l'unico con questa mentalità, anzi che è un requisito praticamente essenziale per un matematico?
Dici che se fossi stato un vero matematico (e io non lo sono, ribadisco, sono uno studente universitario di matematica e anch'io, ovviamente, appassionato) l'avresti risolto. Dico io: se fossi stato un vero matematico, lo reputeresti eccome un grosso problema, e la tua dimostrazione ti farebbe ribrezzo.
8) ribadiamo per l'ultima volta: nessuno ti ha offeso ingiustamente, nè direttamente nè indirettamente (io almeno non ne ho mai avuto intenzione)nessuno viene su questo forum per prendere in giro le persone, nessuno ce l'ha con te. Risparmiaci le categorizzazioni in buoni e cattivi.

Per la tua storia chimica, mi dispiace che ti siano capitate certe cose, anche se non ho ben capito cosa voglia dire "mettere in condizione di dare le dimissioni".

Ci vorrebbe soltanto, da parte tua, un pò più d'umiltà nelle questioni matematiche, dato che come affermi tu stesso, non sei un laureato in matematica, quindi non puoi pretendere di aver ragione su persone molto più compententi di te. Saremo (io nel mio piccolo, s'intende) felici di aiutarti nei tuoi studi e lavori.

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