Teoria dei gruppi - Teorema di struttura per gruppi abeliani

[erossinelli]

Ciao,

non riesco a dimostrare questo teorema.

T. Ogni gruppo abeliano finito è prodotto diretto di gruppi ciclici.

Sono arrivato a dimostrare che ogni gruppo abeliano finito A di cardinalità

[tex]n = p_1^{e_1}*p_2^{e_2}*...*p_n^{e_n}[/tex]

è prodotto diretto dei suoi sottogruppi di Sylow.

Ma non riesco a dimostrare che questi sottogruppi di Sylow sono prodotto diretto di gruppi ciclici. Potete aiutarmi?

grazie in anticipo

[j18eos]

Ti stai confondendo: se tali p-sottogruppi di Sylow fossero tutti ciclici il gruppo abeliano A che tu consideri sarebbe ciclico.

EDIT: ho letto male!

[erossinelli]

e allora come dimostrare il teorema di struttura dei gruppi abeliani (ogni gruppo è prodotto diretto di gruppi ciclici)?

p.s. quello che avevo capito discendeva dal T. 3.3.1 del libro del koblitz

[Studente Anonimo]

"j18eos":Ti stai confondendo: se tali p-sottogruppi di Sylow fossero tutti ciclici il gruppo abeliano A che tu consideri sarebbe ciclico.

Forse non hai letto bene: erossinelli non vuole dimostrare che sono ciclici, ma che sono prodotti diretti di ciclici:

"erossinelli":non riesco a dimostrare che questi sottogruppi di Sylow sono prodotto diretto di gruppi ciclici.

[j18eos]

Hai provato a dimostrare per induzione che un gruppo abeliano di ordine $p^n$ sia prodotto di gruppi ciclici? (Induzione sull'esponente n!)