Teoria dei gruppi e ordine di un elemento
Salve ragazzi, avrei qualche dubbio per quanto riguarda il numero di elementi con un determinato ordine in un gruppo.
Mi spiego meglio:stavo risolvendo questo esercizio siffatto.
Sia G gruppo ciclico di ordine n = rs
1) Dimostrare che G ha un so sottogruppo di ordine r.
Beh questo è banale, essendo ciclico il teorema di lagrange è invertibile e quindi come immediata conseguenza è unico.
2) Quanti sono gli elementi di G di ordine r?
Ecco il problema.
Dunque sono sicuramente più di uno, ma di preciso quanti? E come faccio a capirlo?
Ho pensato che il numero possa essere trovato dividendo l'ordine del gruppo per il numero di sottogruppi, ma anche così non può essere essendo che di ordine 1 può esserci solo un elemento.
Qualche aiuto?
Mi spiego meglio:stavo risolvendo questo esercizio siffatto.
Sia G gruppo ciclico di ordine n = rs
1) Dimostrare che G ha un so sottogruppo di ordine r.
Beh questo è banale, essendo ciclico il teorema di lagrange è invertibile e quindi come immediata conseguenza è unico.
2) Quanti sono gli elementi di G di ordine r?
Ecco il problema.
Dunque sono sicuramente più di uno, ma di preciso quanti? E come faccio a capirlo?
Ho pensato che il numero possa essere trovato dividendo l'ordine del gruppo per il numero di sottogruppi, ma anche così non può essere essendo che di ordine 1 può esserci solo un elemento.
Qualche aiuto?
Risposte
Siccome $G$ è ciclico, come hai detto tu ha uno e un solo sottogruppo per ogni divisore di $n$ di ordine il divisore. Inoltre sai che i sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici, dunque il sottogruppo di ordine $r$ è $H = $ dove $g$ è un generatore del gruppo. Ora, gli elementi di ordine $r$ saranno tutti e soli i generatori di $H$. Questi saranno $\phi( r )$ dove $\phi$ è la funzione di Eulero.
La funzione di eulero, come ho fatto a non pensarci! Grazie mille.
Un'altra domanda, riguardo gli isomorfismi. Quando mi viene chiesto di dimostrare che due gruppi sono isomorfi (generalmente un gruppo quoziente e un gruppo noto), io di solito agisco ad intuito. Mi spiego meglio:
prima vedo quando due classi laterali coincidono, quindi a partire da ciò provo a ricavarmi una funzione il cui kernel sia costituito solamente dall'elemento neutro del gruppo stesso. A questo punto verifico anche che sia suriettiva.
Bene, sicuramente come procedimento funziona ma non è detto che io riesca ad applicarlo, specialmente se le differenti classi laterali sono difficili da individuare oppure se mi trovo in qualche gruppo che trovo difficile studiare (tipo le permutazioni).
Bene, sono piuttosto convinto che il mio metodo sia piuttosto "alla come viene", ma suppongo ci sia anche un metodo più scientifico, sfruttando probabilmente i teoremi di isomorfismo. In generale come si ragiona in questi casi dunque?
Un'altra domanda, riguardo gli isomorfismi. Quando mi viene chiesto di dimostrare che due gruppi sono isomorfi (generalmente un gruppo quoziente e un gruppo noto), io di solito agisco ad intuito. Mi spiego meglio:
prima vedo quando due classi laterali coincidono, quindi a partire da ciò provo a ricavarmi una funzione il cui kernel sia costituito solamente dall'elemento neutro del gruppo stesso. A questo punto verifico anche che sia suriettiva.
Bene, sicuramente come procedimento funziona ma non è detto che io riesca ad applicarlo, specialmente se le differenti classi laterali sono difficili da individuare oppure se mi trovo in qualche gruppo che trovo difficile studiare (tipo le permutazioni).
Bene, sono piuttosto convinto che il mio metodo sia piuttosto "alla come viene", ma suppongo ci sia anche un metodo più scientifico, sfruttando probabilmente i teoremi di isomorfismo. In generale come si ragiona in questi casi dunque?
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