Teoria dei gruppi

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Vediamo se qualcuno mi può aiutare. Io non sono esperto di teoria dei gruppi. In questi giorni, però, giocando un po' con i gruppi, ho dimostrato il seguente teorema.

Sia $G$ un gruppo finito abeliano e $|G|$ il numero di elementi di $G$ (ovvero, l'ordine di $G$). Se $|G|$ è prodotto di numeri primi distinti, allora $G$ è ciclico.

Vi torna? O è una baggianata?

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Rispondo domani perché ora non capisco più niente!

[Thomas16]

Guarda ti faccio un riassunto con dei copia-incolla, così è più chiaro... mi sa che ieri eravamo entrambi un pò fusi ...

Lemma1: in un gruppo $$, se $b^k=1$, allora l'ordine del gruppo divide $k$.

dim: Sia $u$ l'ordine del gruppo. Se $ku$, esistono $q$ ed $r$ naturali t.c. $k=qu+r$, con $0<=r
$b^k=b^(qu+r)=(b^(u))^qb^r=b^r=1$

da cui r=0, altrimenti avrei una contraddizione perchè $r
Lemma 2: se l'ordine di $[a]$ è primo, e se $a^i!=1$, allora $[a]=[a^i]$.

dim: questa ti andava bene, quindi non la ricopio.

Problema:

Sia $|G|=p_1...p_n$.
Ho letto il teorema di Cauchy sulla rete: grazie ad esso possiamo affermare che esistono $a_i$, t.c. $[a_i]$ è isomorfo al gruppo moltiplicativo $Z_(p_i)$ (ove in quel modo indico il gruppo generato).

Claim: Allora $[a_1a_2...a_n]$ genera $G$, ovvero il suo ordine è $p_1...p_n$.

infatti sia $i$ il più piccolo naturale per cui $(a_1a_2...a_n)^i=1$, ovvero l'ordine di $G$.

Vale: $(a_1a_2..a_n)^(p_1..p_n)=1$ perchè:
$(a_1)^(p_1..p_n)...(a_n)^(p_1..p_n)=1..1=1$
e quindi per il lemma 1, $i|p_1..p_n$.


Supponiamo per assurdo che $p_u$ per un qualche u non divida $i$, allora

$(a_u)^(i)!=1$ e $(a_1..a_na_u^(-1))^i!=1$

$(a_1..a_(n)a_u^(-1))^i=(a_u)^(-i)$

da cui

$[( a_1..a_(n)a_u^(-1) )^i]=[(a_u)^(-i)]$

e per il lemma 2:

$[( a_1..a_(n)a_u^(-1) )^i]=[(a_u)]$

confrontiamo gli ordini dei gruppi ottenuti:

$[(a_u)]=p_u$

del primo gruppo sappiamo che:

$((a_1...a_n a_u^{-1})^i)^( (p_1..p_n)/p_u )=1$

infatti elevando a potenza i singoli fattori, per ogni $a_z$ con $z!=u$, vale

$(a_z)^[i*(p_1..p_n)/p_u]=((a_z)^(p_z))^[i(p_1...p_n)/(p_up_z)]=1$

visto che $a_z^(p_z)=1$ perchè $p_z$ è l'ordine di $[a_z]$

quindi per il lemma1 l'ordine del gruppo divide $(p_1..p_n)/p_u$. Ma l'ordine del gruppo è anche $p_u$ e questo è una contraddizione. Quindi ogni fattore $p_i$ divide $i$, da cui $p_1..p_n|i$.

Essendo due numeri che si dividono reciprocamente sono uguali ed $i=p_1..p_n$, che è la tesi.

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Bene, Thomas, adesso sì che la dimostrazione è scritta come si deve! Perfetta!

Io invece ho dimostrato il teorema svelando quale la struttura ha il gruppo $G$.
Si definisce il gruppo prodotto $G_1xxG_2xx...xxG_n$ fra i gruppi $G_1,G_2,...,G_n$ come il prodotto cartesiano di tali gruppi equipaggiato con l'operazione $(a_1,...,a_n)(b_1,...,b_n)=(a_1b_1,...,a_nb_n)$. Ora ipotizzando che $G_1,...,G_n$ siano ciclici e $|G_1|,...,|G_n|$ siano primi fra loro a coppie, ho dimostrato che $G_1xxG_2xx...xxG_n$ è ciclico e ha ordine $|G_1|...|G_n|$.
Successivamente ho dimostrato che se $a_1,...,a_n$ sono gli elementi di $G$ di ordine rispettivamente $p_1,...,p_n$, allora $G$ è isomorfo al gruppo prodotto $xx...xx$, dove $$ è il sottogruppo generato da $a_i$. Da qui la tesi.