Teoria dei gruppi
Vediamo se qualcuno mi può aiutare. Io non sono esperto di teoria dei gruppi. In questi giorni, però, giocando un po' con i gruppi, ho dimostrato il seguente teorema.
Sia $G$ un gruppo finito abeliano e $|G|$ il numero di elementi di $G$ (ovvero, l'ordine di $G$). Se $|G|$ è prodotto di numeri primi distinti, allora $G$ è ciclico.
Vi torna? O è una baggianata?
Sia $G$ un gruppo finito abeliano e $|G|$ il numero di elementi di $G$ (ovvero, l'ordine di $G$). Se $|G|$ è prodotto di numeri primi distinti, allora $G$ è ciclico.
Vi torna? O è una baggianata?
Risposte
Mi sembra che sia una conseguenza anche del Teorema di struttura dei gruppi finiti, quindi che sia vero; ma è meglio che qualche algebrista intervenga in proposito.
ho iniziato da pochissimo anch'io con i gruppi, cmq so che il teorema di lagrange implica che se $|G|$ e' un numero primo e $a in G$, $a != 1_{G}$ allora G e' il ciclico generato da $a$
perche' non posti la dimostrazione con $|G|$ prodotto di primi?
perche' non posti la dimostrazione con $|G|$ prodotto di primi?
Anch'io ne so poco di teoria dei gruppi, conosco per ora il teorema di Lagrange e il teorema di Cauchy. Siccome ho dimostrato il teorema in poche righe e utilizzando solo questi due risultati, ti propongo di provarci per esercizio!
non ci riesco pero' mi e' venuta in mente una cosa: ogni gruppo ciclico e' abeliano. il gruppo diedrale $D_{6}$ e' famoso per essere il piu' piccolo gruppo non abeliano. e l'ordine e' $3*2$ ...
... e allora $D_6$ non sarà ciclico. Dove sta il problema?
field: non avevo letto che supponevi il gruppo abeliano 
Lo immaginavo! Testa fra le nuvole...
Ci provo...
Sia $|G|=p_1...p_n$.
Ho letto il teorema di Cauchy sulla rete: grazie ad esso possiamo affermare che esistono $a_i$, t.c. $[a_i]$ è isomorfo al gruppo moltiplicativo $Z_(p_i)$ (ove in quel modo indico il gruppo generato).
Allora $[a_1a_2...a_n]$ genera $G$, ovvero il suo ordine è $p_1...p_n$.
infatti sia $i$ il più piccolo naturale per cui $(a_1a_2...a_n)^i=1$, e supponiamo che $p_u$ non divida $i$, allora
$(a_u)^(i)!=1$ e $(a_1..a_na_u^(-1))^i!=1$
$(a_1..a_(n)a_u^(-1))^i=(a_u)^(-i)$
da cui
$[( a_1..a_(n)a_u^(-1) )^i]=[(a_u)^(-i)]$
$[a_1..a_(n)a_u^(-1)]=[a_u]$
ma l'ordine di $a_u$ è $p_u$, mentre l'ordine di $[a_1...a_(n)a_u^(-1)]$ divide perlomeno $(p_1..p_(n-1))/(p_u)$ (NB: qui si utilizza la commutatività di G) che non contiene $p_u$ e quindi essendo i primi distinti vi è un assurdo.
Sia $|G|=p_1...p_n$.
Ho letto il teorema di Cauchy sulla rete: grazie ad esso possiamo affermare che esistono $a_i$, t.c. $[a_i]$ è isomorfo al gruppo moltiplicativo $Z_(p_i)$ (ove in quel modo indico il gruppo generato).
Allora $[a_1a_2...a_n]$ genera $G$, ovvero il suo ordine è $p_1...p_n$.
infatti sia $i$ il più piccolo naturale per cui $(a_1a_2...a_n)^i=1$, e supponiamo che $p_u$ non divida $i$, allora
$(a_u)^(i)!=1$ e $(a_1..a_na_u^(-1))^i!=1$
$(a_1..a_(n)a_u^(-1))^i=(a_u)^(-i)$
da cui
$[( a_1..a_(n)a_u^(-1) )^i]=[(a_u)^(-i)]$
$[a_1..a_(n)a_u^(-1)]=[a_u]$
ma l'ordine di $a_u$ è $p_u$, mentre l'ordine di $[a_1...a_(n)a_u^(-1)]$ divide perlomeno $(p_1..p_(n-1))/(p_u)$ (NB: qui si utilizza la commutatività di G) che non contiene $p_u$ e quindi essendo i primi distinti vi è un assurdo.
Sì, Thomas, l'idea è quella. Non mi sono molto chiari alcuni passaggi però... Comunque anche se esposti diversamente la sostanza non cambia!
ps: Teorema di Cauchy: Se $p$ primo divide $|G|$, allora $G$ ha un sottogruppo di ordine $p$. Dunque tale sottogruppo è ciclico e quindi sarà isomorfo al gruppo additivo $ZZ_p$!
ps: Teorema di Cauchy: Se $p$ primo divide $|G|$, allora $G$ ha un sottogruppo di ordine $p$. Dunque tale sottogruppo è ciclico e quindi sarà isomorfo al gruppo additivo $ZZ_p$!
quali passaggi non ti sono chiari ?? dimmelo per favore che posso provare a chiarirli, sempre che siano corretti 
(in effetti qualche cosa non l'ho spiegata bene, ma mi pare torni)...
tu come esporresti la tua soluzione?? sono curioso...
(in effetti qualche cosa non l'ho spiegata bene, ma mi pare torni)...tu come esporresti la tua soluzione?? sono curioso...
"Thomas":
da cui
$[( a_1..a_(n)a_u^(-1) )^i]=[(a_u)^(-i)]$
$[a_1..a_(n)a_u^(-1)]=[a_u]$
Non mi è ben chiaro come giustifichi la seconda uguaglianza.. Ovviamente $[(a_u)^(-i)]=[a_u]$, ma poi?
Ho usato questa proprietà:
se $a^i!=1$, vale
$[a^i]=[a]$
che dimostro così:
Gli elementi di $[a]$ siano $a,a^2,...,a^p$ con p primo.
Gli elementi di $[a^i]$ sono inclusi in quelle di $[a]$: vediamo che compaiono tutti, ovvero che ve ne sono $p$ diversi.
Innanzitutto gli elementi di $[a^i]$ contengono $a^(i1),..., a^(ip)$ e questi sono tutti diversi, in quanto (pongo $m>y$) da $a^(im)=a^(iy)$ si ha $a^(i(m-y))=1$ e quindi $p$ divide $i$, assurdo perchè $a^i!=1$.
Torna??
se $a^i!=1$, vale
$[a^i]=[a]$
che dimostro così:
Gli elementi di $[a]$ siano $a,a^2,...,a^p$ con p primo.
Gli elementi di $[a^i]$ sono inclusi in quelle di $[a]$: vediamo che compaiono tutti, ovvero che ve ne sono $p$ diversi.
Innanzitutto gli elementi di $[a^i]$ contengono $a^(i1),..., a^(ip)$ e questi sono tutti diversi, in quanto (pongo $m>y$) da $a^(im)=a^(iy)$ si ha $a^(i(m-y))=1$ e quindi $p$ divide $i$, assurdo perchè $a^i!=1$.
Torna??
Su questo non c'è dubbio. Se $a$ ha ordine primo certamente tutti gli elementi di $[a]$ sono generatori di $[a]$, e quindi $[a^i]=[a]$. Ma come giustifichi $[(a_1...a_n a_u^{-1})^i]=[a_1...a_n a_u^{-1}]$?
No, no è questo. Non so come fai a dimostrare che $[(a_1...a_n a_u^{-1})^i]=[(a_1...a_n a_u^{-1})]$. Come fai ad applicare la proprietà che hai citato sopra se non sai l'ordine di $a_1...a_n a_u^{-1}$? O lo sai?
Opss, è sparito il post a cui ho risposto!
Opss, è sparito il post a cui ho risposto!
Oh... è vero... sai che mi ero convinto che per ogni a, ogni $[a]$ fosse isomorfo ad un qualche $Z_p$ per p primo? (ma questo è falso in quanto altrimenti nessun gruppo con ordine non primo potrebbe essere ciclico, il quanto, anche a me inesperto, suona perlomeno sospetto 
)... è che sto facendo confusione in questi giorni con lo studio della geometria... mi devo essere confuso con la dimostrazione che il campo primo di un corpo è isomorfo o a $Z_p$ od a $Q$ ...
va bè... non dovrebbe cambiare nulla cmq nella dimostrazione in quanto è ancora vero che:
ord $[(a_1...a_n a_u^{-1})^i] | (p_1..p_(n-1))/p_u$
ma non vorrei sbagliarmi ancora
)... è che sto facendo confusione in questi giorni con lo studio della geometria... mi devo essere confuso con la dimostrazione che il campo primo di un corpo è isomorfo o a $Z_p$ od a $Q$ ...va bè... non dovrebbe cambiare nulla cmq nella dimostrazione in quanto è ancora vero che:
ord $[(a_1...a_n a_u^{-1})^i] | (p_1..p_(n-1))/p_u$
ma non vorrei sbagliarmi ancora
è sparito il post perchè ho capito quale era il problema 
Non sono sicuro, sono fuso 
, è da questa mattina che lavoro (alla matematica, si intende). Magari se scrivi direttamente la prova corretta mi risparmi la fatica!
, è da questa mattina che lavoro (alla matematica, si intende). Magari se scrivi direttamente la prova corretta mi risparmi la fatica!
Rimane tutto uguale a prima tranne quel passaggio che dici...
alla fine prima del passaggio incriminato ho due gruppi uguali, no? l'ordine del secondo è $p_u$, mentre per il primo vale:
ord $[(a_1...a_n a_u^{-1})^i] | (p_1..p_(n-1))/p_u$ [1]
in quanto $((a_1...a_n a_u^{-1})^i)^( (p_1..p_(n-1))/p_u )=1$.. e visto che se in un gruppo $$, $b^(k)=1$ l'ordine del gruppo $$ divide k (questo sarà vero perchè altrimenti con l'algoritmo di Euclide trovo un numero $e$ minore dell'ordine del gruppo t.c. $b^e=1$), si ha la relazione [1]..., falsa perche l'ordine a sinistra è $p_u$...
alla fine prima del passaggio incriminato ho due gruppi uguali, no? l'ordine del secondo è $p_u$, mentre per il primo vale:
ord $[(a_1...a_n a_u^{-1})^i] | (p_1..p_(n-1))/p_u$ [1]
in quanto $((a_1...a_n a_u^{-1})^i)^( (p_1..p_(n-1))/p_u )=1$.. e visto che se in un gruppo $$, $b^(k)=1$ l'ordine del gruppo $$ divide k (questo sarà vero perchè altrimenti con l'algoritmo di Euclide trovo un numero $e$ minore dell'ordine del gruppo t.c. $b^e=1$), si ha la relazione [1]..., falsa perche l'ordine a sinistra è $p_u$...
"Thomas":
in quanto $((a_1...a_n a_u^{-1})^i)^( (p_1..p_(n-1))/p_u )=1$
Insomma Thomas, come fai a dire che $((a_1...a_n a_u^{-1})^i)^( (p_1..p_(n-1))/p_u )=1$? Secondo me, dovresti abituarti a scrivere dimostrazioni complete, in cui spieghi bene i passaggi, altrimenti fai impazzire chi legge!
E' che c'è qualche fraitendimento... un passaggio era scontato per me all'inizio ed invece non era vero... ora ce n'è un altro per me scontato, spero che non si ripeta come prima... in ogni caso nei post precedenti c'è un $n-1$ al posto di un $n$ da qualche parte... non correggo perchè l'errore è "a monte" ed è dovuto ad un mio cambiamento di notazione "work in progress"... :
cmq se dico quello è chiaro?ecco qua!
$((a_1...a_n a_u^{-1})^i)^( (p_1..p_n)/p_u )=1$
per ogni $a_z$ con $z!=u$, vale
$(a_z)^[i*(p_1..p_n)/p_u]=((a_z)^(p_z))^[i(p_1...p_n)/(p_up_z)]=1$
visto che $a_z^(p_z)=1$ perchè $p_z$ è l'ordine di $[a_z]$
cmq se dico quello è chiaro?ecco qua!
$((a_1...a_n a_u^{-1})^i)^( (p_1..p_n)/p_u )=1$
per ogni $a_z$ con $z!=u$, vale
$(a_z)^[i*(p_1..p_n)/p_u]=((a_z)^(p_z))^[i(p_1...p_n)/(p_up_z)]=1$
visto che $a_z^(p_z)=1$ perchè $p_z$ è l'ordine di $[a_z]$
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