Teoria degli insiemi. Quale delle seguenti frasi è FALSA?

[vinct91]

Siano A e B due insiemi. Quale delle seguenti asserzioni `e FALSA?
(Suggerimento: applicare i diagrammi di Venn).

1) $ A nn B = B nn A $
2) $ A \\ ( A nn B) = A \\ B $
3) $ A sube B <=> A uu B = A $
4) $ |A| + |B| - |A nn B| = |A uu B| $
5) $ A nn (A uu B) = A $

Secondo me è FALSA la numero 4 perché A unito B comprende tutti gli elementi (seppur finiti) degli insiemi A e B. In un foglio di carta disegnerei l' insieme A e l' insieme B completamente colorati (nel senso che tutti gli elementi degli insiemi sono considerati nell' unione), e invece questa operazione $ |A| + |B| - |A nn B|$ dovrebbe portare a questo risultato: $ |A uu B| \\ |A nn B| $ .

Giusto?

[garnak.olegovitc1]

Salve vinx91ct,
non per essere pignoli, ma cosa intendi per $|A|$??
Cordiali saluti

[vinct91]

E' una domanda che mi sono posto anche io
Significa semplicemente che l' insieme A è un insieme finito di elementi.

|A| = {i monti alti meno di 3000 m}
|A| = {1,3,4,5,a,b,d}
|A| = {la quantità di granelli di sabbia esistenti nel pianeta Terra},
ecc.

[vinct91]

Nel frattempo ripensandoci bene la 4 è possibilissima. La 3 forse è sbagliata. Dovrebbe essere $ A sube B <=> A uu B = B $

[garnak.olegovitc1]

Salve vinx91ct,

"vinx91ct": La 3 forse è sbagliata. Dovrebbe essere $ A sube B <=> A uu B = B $

come ci sei arrivato?

Cordiali saluti

[vinct91]

Allora lì c' è scritto: A sottoinsieme improprio di B (va letto: A incluso in B). Ora se pensi al significato di sottoinsieme improprio, ti renderai conto che disegnarne uno significa disegnare l' insieme B (quello principale) e poi al suo interno disegnare A. Tuttavia i due insieme hanno gli stessi punti (infatti insieme improprio significa che tutti gli elementi dell' insieme B appartengono anche all' insieme A, o meglio, ogni elemento dell' insieme B coincide con ogni elemento dell' insieme A, quindi i due insiemi sono proprio identici). Detto ciò ho spiegato il primo membro. Ora la formula mi dice che il primo membro ($ A sube B $) equivale ad A unito B. Siccome l' insieme principale è l' insieme B (infatti abbiamo detto che il primo membro si legge "A incluso in B", ripeto che è A ad essere il sottoinsieme "identico" (per capirci) di B e non viceversa) allora l' unione del sottoinsieme A con l' insieme principale B deve essere uguale all' insieme principale B (cioè $ A uu B = B $). Se il primo mebro fosse stato $ B sube A $, anziché il contrario (ovverosia il nostro caso specifico), allora sarebbe stato giusto scrivere $ A uu B = A $

Più facile a farsi che a dirsi. Comunque quello è il mio pensiero contorto. Non so neanche se è giusta la risposta che ho dato, figuriamoci il ragionamento...

[xunil1987]

"garnak.olegovitc":non per essere pignoli, ma cosa intendi per $|A|$??

Non significa cardinalità di $A$?

In tal caso la 4 è corretta. Sulla 3 invece concordo, è Falsa.

[vinct91]

Sì, significa cardinalità. La cardinalità di un insieme è il "numero" dei suoi elementi. Quando l' insieme A è finito (si dice finito se esiste una corrispondenza biunivoca $ f: rarr A {1,2,...,n} $ per un qualche numero naturale $ n != 0 $, $ n in {1,2,3,...,n} $) il numero n si dice cardinalità di A, e si scrive $ |A| = n $