Teoria assiomatica degli insiemi ZFC (nuove curiosità)
Ho qualche cosa sulla teoria assiomatica degli insiemi ZFC; la mia intenzione non è studiare la Teoria assiomatica degli insiemi ZFC, ma solo cominciare a saggiare il senso degli assiomi di questa teoria. Motivo: leggendo il Prodi, ho trovato ripetuto almeno una ventina di volte che l'introduzione agli insiemi che si fa in un corso di Analisi è abbastanaza lacunosa, trattandosi di una introduzione a una teoria ingenua degli insiemi, e che in una teoria più forte ci sono degli assiomi cui le costruzioni insiemistiche devono assolvere; in particolare, con riferimento a quest'ultimo fatto (cioè il rispetto degli assiomi) il Prodi dice che un insieme non si può costruire con la forma ${x : \mathcal{P}(x)}$ ma dovrebbe essere costruito con la forma ${x : x \in F ^^ \mathcal{P}(x)}$ dove $F$ è già stato costruito e $\mathcal{P}(x)$ è una proprietà di $x$.
Allora mi son detto: "diamo un'occhiata alla Teoria ZFC". Detto...fatto: ho letto la seguente dispensa; ovviamente, ci sono state molte cose che mi hanno disorientato, quindi mi chiedevo se qualcuno di voi potesse darmi dei chiarimenti.
Quindi:
1) l'assioma di rimpiazzamento permette di dimostrare il principio di specificazione e quest'ultimo ci dice che per costruire un insieme in modo intensivo (per intensivo intendo attraverso una proprietà caratteristica dei suoi elementi) serve avere già a disposizione un altro insieme da cui andare a prendere gli elementi: giusto?
2) l'assioma dell'unione ci dice che presa una famiglia di insimi $\mathfrak{F}$ esiste un insiemi che ha come elementi gli elementi degli insiemi che compongono $\mathfrak{F}$, cioè succede na cosa di questo tipo: se $\mathfrak{F}={{1,2}, {blu, rosso}, {Milano, Roma, Napoli}}$ allora $\bigcup\mathfrak{F}={1,2,blu,rosso, Milano, Napoli, Roma}$....Ho capito bene o male? Ma se ho capito bene, in che modo viene rispettato il principio di specificazione: cioè, dove sta l'insieme da cui vengono presi gli elementi di $\bigcup\mathfrak{F}$ ? Lo domando perchè gli elementi di $\mathfrak{F}$ fanno parte due di un insieme, due di un altro e tre di un terzo insieme, ma non siamo partiti da un insieme che li aveva tutti e sette come elementi ($\mathfrak{F}$ ha come elementi insiemi costrutiti con gli elementi di $\bigcup\mathfrak{F}$).
3) l'insieme intersezione non è postulato ma creato come sottoinsieme dell'insieme unione attraverso il principio di specificazione: giusto? Se è giusto che problema c'è per l'intersezione di $\mathfrak{F}$ con $\mathfrak{F}=\emptyset$: voglio dire, se partiamo dal fatto che $\bigcap\mathfrak{F}$ è un sottoinsieme di $\bigcup\mathfrak{F}$, quando $\mathfrak{F}=\emptyset$ allora $\bigcup\mathfrak{F}=\emptyset$ ed essendo $\bigcap\mathfrak{F}$ un sottoinsieme di $\bigcup\mathfrak{F}$ ed essendo quest'ultimo vuoto, allora $\bigcap\mathfrak{F}=\emptyset$...perchè invece sulla dispensa si dice che $\mathfrak{F}=\emptyset$ è un problema?
Ringrazio chiunque voglia cimentarsi nell'impresa di schiarirmi le idee.
Allora mi son detto: "diamo un'occhiata alla Teoria ZFC". Detto...fatto: ho letto la seguente dispensa; ovviamente, ci sono state molte cose che mi hanno disorientato, quindi mi chiedevo se qualcuno di voi potesse darmi dei chiarimenti.
Quindi:
1) l'assioma di rimpiazzamento permette di dimostrare il principio di specificazione e quest'ultimo ci dice che per costruire un insieme in modo intensivo (per intensivo intendo attraverso una proprietà caratteristica dei suoi elementi) serve avere già a disposizione un altro insieme da cui andare a prendere gli elementi: giusto?
2) l'assioma dell'unione ci dice che presa una famiglia di insimi $\mathfrak{F}$ esiste un insiemi che ha come elementi gli elementi degli insiemi che compongono $\mathfrak{F}$, cioè succede na cosa di questo tipo: se $\mathfrak{F}={{1,2}, {blu, rosso}, {Milano, Roma, Napoli}}$ allora $\bigcup\mathfrak{F}={1,2,blu,rosso, Milano, Napoli, Roma}$....Ho capito bene o male? Ma se ho capito bene, in che modo viene rispettato il principio di specificazione: cioè, dove sta l'insieme da cui vengono presi gli elementi di $\bigcup\mathfrak{F}$ ? Lo domando perchè gli elementi di $\mathfrak{F}$ fanno parte due di un insieme, due di un altro e tre di un terzo insieme, ma non siamo partiti da un insieme che li aveva tutti e sette come elementi ($\mathfrak{F}$ ha come elementi insiemi costrutiti con gli elementi di $\bigcup\mathfrak{F}$).
3) l'insieme intersezione non è postulato ma creato come sottoinsieme dell'insieme unione attraverso il principio di specificazione: giusto? Se è giusto che problema c'è per l'intersezione di $\mathfrak{F}$ con $\mathfrak{F}=\emptyset$: voglio dire, se partiamo dal fatto che $\bigcap\mathfrak{F}$ è un sottoinsieme di $\bigcup\mathfrak{F}$, quando $\mathfrak{F}=\emptyset$ allora $\bigcup\mathfrak{F}=\emptyset$ ed essendo $\bigcap\mathfrak{F}$ un sottoinsieme di $\bigcup\mathfrak{F}$ ed essendo quest'ultimo vuoto, allora $\bigcap\mathfrak{F}=\emptyset$...perchè invece sulla dispensa si dice che $\mathfrak{F}=\emptyset$ è un problema?
Ringrazio chiunque voglia cimentarsi nell'impresa di schiarirmi le idee.
Risposte
2) E' l'assioma che asserisce l'esistenza di quell'insieme, quindi non vedo il problema. O forse non ho capito cosa intendi.
3) Se $\mathfrak F = \emptyset$, allora gli assiomi non ti permettono di cotruire l'insieme $\bigcap \mathfrak{F} = {C: "per ogni " D\in \mathfrak{F} ", C" \in D}$, dato che, se esistesse, conterrebbe ogni insieme dell'universo, che non e' una nozione di ZFC.
3) Se $\mathfrak F = \emptyset$, allora gli assiomi non ti permettono di cotruire l'insieme $\bigcap \mathfrak{F} = {C: "per ogni " D\in \mathfrak{F} ", C" \in D}$, dato che, se esistesse, conterrebbe ogni insieme dell'universo, che non e' una nozione di ZFC.
Su questo punto i matematici praticamente si dividono, c'è chi non attribuisce significato (in ZFC) a $cap emptyset$, chi invece pone che esso sia l'insieme vuoto.
TomSawyer, però la formula con cui lo definisci mostra che è l'insieme vuoto, dato che è privo di elementi perché non vi sono $D in F$. Almeno questa è la mia opinione, penso la questione è della logica (una volta in contesto non classico sentii parlare di insiemi disabitati, ossia il supporre esistere elementi dell'insieme porta a contraddizione).
TomSawyer, però la formula con cui lo definisci mostra che è l'insieme vuoto, dato che è privo di elementi perché non vi sono $D in F$. Almeno questa è la mia opinione, penso la questione è della logica (una volta in contesto non classico sentii parlare di insiemi disabitati, ossia il supporre esistere elementi dell'insieme porta a contraddizione).
Appunto, proprio perche' la premessa e' falsa ogni insieme fa parte di $\bigcap \emptyset$, ma, come si sa, in ZFC non esiste un insieme di tutti gli insiemi.
Comunque, non mi sembra che i matematici si dividano su questo punto. Se $\bigcap \emptyset$ e' definita in modo analogo a $\bigcup \emptyset$, allora abbiamo quel problema; invece se si fa uso di un insieme fissato $U$, l'universo, allora si risolve ogni problema.
Comunque, non mi sembra che i matematici si dividano su questo punto. Se $\bigcap \emptyset$ e' definita in modo analogo a $\bigcup \emptyset$, allora abbiamo quel problema; invece se si fa uso di un insieme fissato $U$, l'universo, allora si risolve ogni problema.
2) il problema che mi ponevo io era questo: il principio di specificazione dice che si può costruire mediante una proprietà $\mathcal{P}(x)$ un insieme $X$ se si ha a disposizione un insieme "precostruito $Y$ da cui prendere gli elementi. L'insieme unione è defrinito mediante la proprietà $\exists E : E \in \mathfrak{F} ^^ x \in E$; per mezzo del principio di specificazione adesso non occorrerebbe un insieme da cui prendere $x$? O l'assioma dell'unione se ne frega del principio di specificazione?
3) Mmmm...la cosa che mi disorienta è questa: $\bigcap \mathfrak{F}$ viene definito come un opportuno sottoinsieme di $\bigcup\mathfrak{F}$ attraverso la proprietà $\forall F : F \in \mathfrak{F} => x \in F$, quindi è $\bigcap\mathfrak{F}:={x \in \bigcup\mathfrak{F}: (\forall F : F \in \mathfrak{F} => x \in F)}$ ovvero $\bigcap\mathfrak{F}:={x: (x \in \bigcup\mathfrak{F}) ^^ (\forall F : F \in \mathfrak{F} => x \in F)}$; quindi le $x$ di $\bigcap\mathfrak{F}$ sono quelle che hanno la proprietà $(x \in \bigcup\mathfrak{F})^^(\forall F : F \in \mathfrak{F} => x \in F)$; se $\mathfrak{F}=\emptyset$ allora quella proprietà non ce l'ha alcuna $x$, quindi $\bigcap\mathfrak{F}=\emptyset$. Mi dici cos'è che sbaglio?
P.S.: la definizione di $\bigcap\mathfrak{F}$ che ho usato l'ho presa dalla dispensa di cui prima in oggetto.
3) Mmmm...la cosa che mi disorienta è questa: $\bigcap \mathfrak{F}$ viene definito come un opportuno sottoinsieme di $\bigcup\mathfrak{F}$ attraverso la proprietà $\forall F : F \in \mathfrak{F} => x \in F$, quindi è $\bigcap\mathfrak{F}:={x \in \bigcup\mathfrak{F}: (\forall F : F \in \mathfrak{F} => x \in F)}$ ovvero $\bigcap\mathfrak{F}:={x: (x \in \bigcup\mathfrak{F}) ^^ (\forall F : F \in \mathfrak{F} => x \in F)}$; quindi le $x$ di $\bigcap\mathfrak{F}$ sono quelle che hanno la proprietà $(x \in \bigcup\mathfrak{F})^^(\forall F : F \in \mathfrak{F} => x \in F)$; se $\mathfrak{F}=\emptyset$ allora quella proprietà non ce l'ha alcuna $x$, quindi $\bigcap\mathfrak{F}=\emptyset$. Mi dici cos'è che sbaglio?
P.S.: la definizione di $\bigcap\mathfrak{F}$ che ho usato l'ho presa dalla dispensa di cui prima in oggetto.
"TomSawyer":
Appunto, proprio perche' la premessa e' falsa ogni insieme fa parte di $\bigcap \emptyset$, ma, come si sa, in ZFC non esiste un insieme di tutti gli insiemi.
Comunque, non mi sembra che i matematici si dividano su questo punto. Se $\bigcap \emptyset$ e' definita in modo analogo a $\bigcup \emptyset$, allora abbiamo quel problema; invece se si fa uso di un insieme fissato $U$, l'universo, allora si risolve ogni problema.
Ah, certo, in un universo $U$ il problema non sussiste più...
Wizard, magari ne parliamo qualche altra volta se ci si vede...
"WiZaRd":
3) Mmmm...la cosa che mi disorienta è questa: $\bigcap \mathfrak{F}$ viene definito come un opportuno sottoinsieme di $\bigcup\mathfrak{F}$ attraverso la proprietà $\forall F : F \in \mathfrak{F} => x \in F$, quindi è $\bigcap\mathfrak{F}:={x \in \bigcup\mathfrak{F}: (\forall F : F \in \mathfrak{F} => x \in F)}$ ovvero $\bigcap\mathfrak{F}:={x: (x \in \bigcup\mathfrak{F}) ^^ (\forall F : F \in \mathfrak{F} => x \in F)}$; quindi le $x$ di $\bigcap\mathfrak{F}$ sono quelle che hanno la proprietà $(x \in \bigcup\mathfrak{F})^^(\forall F : F \in \mathfrak{F} => x \in F)$; se $\mathfrak{F}=\emptyset$ allora quella proprietà non ce l'ha alcuna $x$, quindi $\bigcap\mathfrak{F}=\emptyset$. Mi dici cos'è che sbaglio?
P.S.: la definizione di $\bigcap\mathfrak{F}$ che ho usato l'ho presa dalla dispensa di cui prima in oggetto.
Se definisci $\bigcap F$ come sottoinsieme di $\bigcup F$, allora ogni sottoinsieme di $\bigcup F$ rispetta le condizioni, quindi si avrebbe che $\bigcap \emptyset = \bigcup F$. Inoltre, il problema e' che $\emptyset$ e' un sottoinsieme di qualsiasi insieme, quindi si torna al discorso di prima: cioe' per risolvere il problema si introduce un insieme fissato $U$, chiamato universo, e quindi $\bigcap \emptyset=U$
Ricordi Wizard il post precedente dove dicemmo che $cap emptyset$ è l'elemento neutro rispetto all'intersezione? In ZFC non esiste in assoluto, ma può esistere relativamente a un universo U, come nel caso che tali insiemi siano parti di un fissato insieme S che esaminammo. In tal caso U=P(S).
Sì, ricordo...penso anche di aver capito...a scanso di equivoci domattina mi rileggo ancora la dispensa e quanto si è detto nei topic relativi agli insiemi che ho aperto...spero che i dubbi non mi assalgano ancora e spero di averci veramente capito qualche cosina...nel caso andasse male, posterò richieste di soccorso, sperando di non annoiarvi 
Allora, allora...vi chiedo alcune cosine:
1) l'assioma dell'unione ci permette di costruire l'unione di una famiglia $\mathfrak{F}$ indipendetemente dal principio di specificazione, cioè l'assioma di unione ci garantisce l'unione di insiemi che sono elementi di un altro insieme senza richiedere una condizione maggiormente restrittiva quale l'essere sottoinsieme di un insieme più grande: giusto?
2) col principio di specificazione si potrebbe ugualmente costruire l'unione di due insiemi e mostrare poi che questa coincide con l'unione di due insiemi ottenuta mediante l'assioma dell'unione (nel caso particolare che $A \subseteq M$ e $B \subseteq M$, con $A, B$ gli insiemi da unire)?
3) l'unione gode della proprietà commutativa su due insiemi; la proprietà commutativa è definita solo nel caso dell'unione di due insiemi (e poi riapplicata a coppie per l'unione di più insiemi) o è definita direttamente per una famiglia $\mathfrak{F}$ con più di due insiemi da unire?
4) per provare la commutatività dell'unione ci serve una famiglia con due insiemi e questa ci è assicurata dall'assioma della coppia; per provare l'associtività dell'unione ci servono tre insiemi, quindi una famiglia di tre insiemi: chi ci assicura che sia possibile averla?
Per evitare che vi spompiate per cercare di farmi capire qualche cosina, vi dico in partenza cosa ho pensate, così se volete rispondere, potete accorciare correnggendo i miei errori...
1) giusto
2) si
3) la commutatività è definita per l'unione di due insiemi e poi applicata a coppie quando ci sono da unire più di due insiemi
4) siano $A, B, C$ insiemi; con l'assioma della coppia costruiamo ${A,B}$; con quello dell'unione costruiamo $\bigcup {A, B} = : A cup B$; ancora con assioma coppia, costruiamo ${\bigcup{A, B}, C}$ e con unione costruiamo $\bigcup{\bigcup{A,B}, C}= : (A cup B) cup C$. A sto punto semplifichiamo i predicati che definiscono intensivamente gli insiemi e giocando con le proprietà dei connettivi e rigiocando con gli assiomi di ZFC per costruire $A cup (B cup C)$ dimostriamo l'associtività.
1) l'assioma dell'unione ci permette di costruire l'unione di una famiglia $\mathfrak{F}$ indipendetemente dal principio di specificazione, cioè l'assioma di unione ci garantisce l'unione di insiemi che sono elementi di un altro insieme senza richiedere una condizione maggiormente restrittiva quale l'essere sottoinsieme di un insieme più grande: giusto?
2) col principio di specificazione si potrebbe ugualmente costruire l'unione di due insiemi e mostrare poi che questa coincide con l'unione di due insiemi ottenuta mediante l'assioma dell'unione (nel caso particolare che $A \subseteq M$ e $B \subseteq M$, con $A, B$ gli insiemi da unire)?
3) l'unione gode della proprietà commutativa su due insiemi; la proprietà commutativa è definita solo nel caso dell'unione di due insiemi (e poi riapplicata a coppie per l'unione di più insiemi) o è definita direttamente per una famiglia $\mathfrak{F}$ con più di due insiemi da unire?
4) per provare la commutatività dell'unione ci serve una famiglia con due insiemi e questa ci è assicurata dall'assioma della coppia; per provare l'associtività dell'unione ci servono tre insiemi, quindi una famiglia di tre insiemi: chi ci assicura che sia possibile averla?
Per evitare che vi spompiate per cercare di farmi capire qualche cosina, vi dico in partenza cosa ho pensate, così se volete rispondere, potete accorciare correnggendo i miei errori...
1) giusto
2) si
3) la commutatività è definita per l'unione di due insiemi e poi applicata a coppie quando ci sono da unire più di due insiemi
4) siano $A, B, C$ insiemi; con l'assioma della coppia costruiamo ${A,B}$; con quello dell'unione costruiamo $\bigcup {A, B} = : A cup B$; ancora con assioma coppia, costruiamo ${\bigcup{A, B}, C}$ e con unione costruiamo $\bigcup{\bigcup{A,B}, C}= : (A cup B) cup C$. A sto punto semplifichiamo i predicati che definiscono intensivamente gli insiemi e giocando con le proprietà dei connettivi e rigiocando con gli assiomi di ZFC per costruire $A cup (B cup C)$ dimostriamo l'associtività.
1) yep
2) se bastasse il principio di specificazione, allora non ci sarebbe bisogno dell'assioma dell'unione. Non basta, perché ci sarebbe bisogno di un unico insieme da dove prendere gli elementi; e questa garanzia ce la dà proprio l'assioma dell'unione.
3) si fa la stessa cosa in un qualsiasi contesto commutativo, facendo uso dell'associatività.
4) direi proprio di sì
2) se bastasse il principio di specificazione, allora non ci sarebbe bisogno dell'assioma dell'unione. Non basta, perché ci sarebbe bisogno di un unico insieme da dove prendere gli elementi; e questa garanzia ce la dà proprio l'assioma dell'unione.
3) si fa la stessa cosa in un qualsiasi contesto commutativo, facendo uso dell'associatività.
4) direi proprio di sì
Quando dici "si fa la stessa cosa in un qualsiasi contesto commutativo, facendo uso dell'associatività" intendi dire che la commutatività si applica a coppie di due insiemi alla volta, aiutandosi con l'associatività?
Esatto.
Ok. Grazie mille.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo