Teoria assiomatica degli insiemi
Prima di tutto voglio dire che non sono uno studente né un esperto di matematica. Sono solo uno che si interressa di matematica per curiosità.
Stavo leggendo la pagina di wikipedia riguardo la teoria assiomatica degli insiemi
(http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_assiomatica_degli_insiemi)
Mi viene un dubbio leggendo gli assiomi 1, 6, che qui riporto
1. Assioma di estensionalità: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.
6. Assioma di specificazione (o di separazione): Dato un insieme qualsiasi e una generica proposizione P(x), esiste un sottoinsieme dell'insieme originale contenente esattamente gli elementi x per cui vale P(x).
Spiego il dubbio: un assioma è una proposizione la cui verità o falsità non può essere dimostrata a partire dagli altri assiomi e che viene assunto come vero.
Ora, questo non mi sembra il caso dei due assiomi scritti sopra, questi due mi sembrano piuttosto delle definizioni.
La prima sarebbe una definizione del concetto di uguaglianza fra due insiemi, la seconda definirebbe, dato un insieme $A$ e una proposizione $P$, il sottoinsieme degli elementi di $A$ per cui è vera la proposizione $P$.
Cosa sbaglio nella mia interpretazione?
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà rispondere.
Stavo leggendo la pagina di wikipedia riguardo la teoria assiomatica degli insiemi
(http://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_assiomatica_degli_insiemi)
Mi viene un dubbio leggendo gli assiomi 1, 6, che qui riporto
1. Assioma di estensionalità: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.
6. Assioma di specificazione (o di separazione): Dato un insieme qualsiasi e una generica proposizione P(x), esiste un sottoinsieme dell'insieme originale contenente esattamente gli elementi x per cui vale P(x).
Spiego il dubbio: un assioma è una proposizione la cui verità o falsità non può essere dimostrata a partire dagli altri assiomi e che viene assunto come vero.
Ora, questo non mi sembra il caso dei due assiomi scritti sopra, questi due mi sembrano piuttosto delle definizioni.
La prima sarebbe una definizione del concetto di uguaglianza fra due insiemi, la seconda definirebbe, dato un insieme $A$ e una proposizione $P$, il sottoinsieme degli elementi di $A$ per cui è vera la proposizione $P$.
Cosa sbaglio nella mia interpretazione?
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà rispondere.
Risposte
Se noti bene sono delle proposizioni: nella prima la struttura ipotesi/tesi è evidente, nella seconda un po' meno ( basta sviscerare la frase e rimontarla diversamente). Una definizione in generale analizza un particolare oggetto matematico (in senso largo) senza determinare altro a partire da esso.
Limitiamoci a considerare il primo assioma che è il più semplice.
Faccio fatica a vederlo come proposizione perché il significato di '=', riferito ad insiemi, non è ancora stato definito.
Appunto per questo mi verrebbe da interpretare l'assioma di estensionalità come la definizione della relazione di uguaglianza fra due insiemi.
Comunque mi sembra di capire che effettivamente nemmeno tu li vedi come assiomi.
Faccio fatica a vederlo come proposizione perché il significato di '=', riferito ad insiemi, non è ancora stato definito.
Appunto per questo mi verrebbe da interpretare l'assioma di estensionalità come la definizione della relazione di uguaglianza fra due insiemi.
Comunque mi sembra di capire che effettivamente nemmeno tu li vedi come assiomi.
L'uguaglianza credo sia un concetto considerabile in ambiti diversi o quantomeno più ristretti di quello insiemistico, esiste al di fuori e a prescindere da esso. L'assioma è quindi diretto ad una proprietà specifica dell'uguaglianza riferita agli insiemi, essendo essa fortemente basilare per ogni concetto matematico, e non serve a definire la stessa. Se poi la vuoi vedere come definizione fai un po' tu, ma in generale non lo è, è una proposizione. Io lo vedo come assioma comunque, per quanto possa valere la visione di uno studente piuttosto inesperto.
Ok, grazie per la risposta.
Di nulla.
1. Assioma di estensionalità: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.
Confido che quel poco che so, questo è un teorema a tutti gli effetti.
dalla teoria ingenua degli insiemi si può dire che
Se $A,B$ sono insiemi .
Allora $A=B <=> A sube B ^^ B sube A$ e si dimostra.
ora non so se questa proposizione la si da come assioma nella teoria assiomatica degli insiemi, anche se penso che non sarebbe male..
infondo, è molto intuitivo il fatto che se due insiemi sono uguali allora contano degli stessi elementi
Salve Kashaman,
bhè l'assioma di estensionalità nella sua versione originale è:
$A=B harr AAx(x in A harr x in B)$
poi ovviamente si dimostra a livello logico, dopo aver dato la def. del sottoinsieme improprio, ovvero $A sube B harr AAx(x in A -> x in B)$, che $A=B harr A sube B ^^ B sube A$... in molti testi si utilizza dare quest'ultima def. come uguaglianza tra due insiemi...
Cordiali saluti
"Kashaman":
1. Assioma di estensionalità: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.
Confido che quel poco che so, questo è un teorema a tutti gli effetti.
dalla teoria ingenua degli insiemi si può dire che
Se $A,B$ sono insiemi .
Allora $A=B <=> A sube B ^^ B sube A$ e si dimostra.
ora non so se questa proposizione la si da come assioma nella teoria assiomatica degli insiemi, anche se penso che non sarebbe male..
infondo, è molto intuitivo il fatto che se due insiemi sono uguali allora contano degli stessi elementi
bhè l'assioma di estensionalità nella sua versione originale è:
$A=B harr AAx(x in A harr x in B)$
poi ovviamente si dimostra a livello logico, dopo aver dato la def. del sottoinsieme improprio, ovvero $A sube B harr AAx(x in A -> x in B)$, che $A=B harr A sube B ^^ B sube A$... in molti testi si utilizza dare quest'ultima def. come uguaglianza tra due insiemi...
Cordiali saluti
ho capito garnak. In effetti prima di dare questa definizione
$A=B <=> A sube B ^^ B sube A$ si deve definire prima qualcos'altro e cioè $sube$.
invece la formulazione originale
$A=B <=> AAx(x in A <=> x in B$ è più primitiva per certi versi. E' più intuitiva...
grazie di questa piccola chicca garnak!
OT : mi colpisce il tuo livello di formalità e di logica, posso chiederti se studi matematica pura (come è ovvio) , dove e a che anno sei garnak?
$A=B <=> A sube B ^^ B sube A$ si deve definire prima qualcos'altro e cioè $sube$.
invece la formulazione originale
$A=B <=> AAx(x in A <=> x in B$ è più primitiva per certi versi. E' più intuitiva...
grazie di questa piccola chicca garnak!
OT : mi colpisce il tuo livello di formalità e di logica, posso chiederti se studi matematica pura (come è ovvio) , dove e a che anno sei garnak?
Salve Kashaman,
rimarrai deluso ma aihmè non studio matematica, studio fisica e sono al secondo anno!
Però mi piace moltissimo la matematica...
In certi momenti mi domando se non ho sbagliato corso universitario!
Cordiali saluri
"Kashaman":
ho capito garnak. In effetti prima di dare questa definizione
$A=B <=> A sube B ^^ B sube A$ si deve definire prima qualcos'altro e cioè $sube$.
invece la formulazione originale
$A=B <=> AAx(x in A <=> x in B$ è più primitiva per certi versi. E' più intuitiva...
grazie di questa piccola chicca garnak!
OT : mi colpisce il tuo livello di formalità e di logica, posso chiederti se studi matematica pura (come è ovvio) , dove e a che anno sei garnak?
rimarrai deluso ma aihmè non studio matematica, studio fisica e sono al secondo anno!
Però mi piace moltissimo la matematica...
In certi momenti mi domando se non ho sbagliato corso universitario!
Cordiali saluri
Ricapitolando, se ho capito bene, si può procedere in due modi (dopo aver assunto come primitivi i concetti di insieme e di appartenenza ad un insieme).
O si da prima la definizione di $A\subseteq B$, per poi definire $A=B\Leftrightarrow(A\subseteq B\wedge B\subseteq A)$, da cui la proposizione $A=B\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B)$ discende come teorema.
Oppure si da prima la definizione $A=B\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B)$ poi la definizione di $A\subseteq B$ e quindi si dimostra (teorema) che $A=B\Leftrightarrow(A\subseteq B\wedge B\subseteq A)$.
In ognuno dei due casi quello che viene chiamato assioma di estensionalità mi sembra che non sia davvero un assioma. Sbaglio?
Grazie per le risposte
O si da prima la definizione di $A\subseteq B$, per poi definire $A=B\Leftrightarrow(A\subseteq B\wedge B\subseteq A)$, da cui la proposizione $A=B\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B)$ discende come teorema.
Oppure si da prima la definizione $A=B\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B)$ poi la definizione di $A\subseteq B$ e quindi si dimostra (teorema) che $A=B\Leftrightarrow(A\subseteq B\wedge B\subseteq A)$.
In ognuno dei due casi quello che viene chiamato assioma di estensionalità mi sembra che non sia davvero un assioma. Sbaglio?
Grazie per le risposte
Attenzione che l'assioma di estensionalità è definito come [tex](\forall A)(\forall B)(A = B \Leftrightarrow (\forall C)(C \in A \Leftrightarrow C \in B)[/tex]
@garnak : beh un po sì, sei molto bravo. Penso che saresti stato benissimo tra i matematici 
se non sono troppo indiscreto, a che ateneo studi?
@alfius
penso sia corretto.
diciamo che si dimostra che
$A=B <=> AAx(x in A ^^ x in B)$ è logicamente equivalente a $A=B <=> A sube B ^^ B sube A$
se non sono troppo indiscreto, a che ateneo studi?
@alfius
penso sia corretto.
diciamo che si dimostra che
$A=B <=> AAx(x in A ^^ x in B)$ è logicamente equivalente a $A=B <=> A sube B ^^ B sube A$
Salve Alfius,
forse voelvi scrivere: $A=B harr AAx(x in A harr x in B)$
Per quanto riguarda se è o meno un assioma dipende da come ti approcci a studiarlo..
Cordiali saluti
"Alfius":
Oppure si da prima la definizione $A=B\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B)$ poi la definizione di $A\subseteq B$ e quindi si dimostra (teorema) che $A=B\Leftrightarrow(A\subseteq B\wedge B\subseteq A)$.
forse voelvi scrivere: $A=B harr AAx(x in A harr x in B)$
Per quanto riguarda se è o meno un assioma dipende da come ti approcci a studiarlo..
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve Alfius,
[quote="Alfius"]
Oppure si da prima la definizione $A=B\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B)$ poi la definizione di $A\subseteq B$ e quindi si dimostra (teorema) che $A=B\Leftrightarrow(A\subseteq B\wedge B\subseteq A)$.
forse voelvi scrivere: $A=B harr AAx(x in A harr x in B)$
Per quanto riguarda se è o meno un assioma dipende da come ti approcci a studiarlo..
Cordiali saluti[/quote]
Si, in effetti è proprio quello che volevo scrivere.
"GundamRX91":
Attenzione che l'assioma di estensionalità è definito come [tex](\forall A)(\forall B)(A = B \Leftrightarrow (\forall C)(C \in A \Leftrightarrow C \in B))[/tex]
In effetti scritto così ha molto più senso chiamarlo assioma (mi sono permesso di aggiungere una parentesi mancante).
A questo punto pero' bisognerebbe vedere come assioma anche la definizione di sottoinsieme, che diventerebbe $(\forall A)(\forall B)(A\subseteq B\Leftrightarrow (\forall C)(C\in A\Rightarrow C\in B))$ quindi mi risulta sensato considerare anche l'assioma di specificazione effettivamente come un assioma.
Grazie per i chiarimenti.
Salve Alfius,
In effetti scritto così ha molto più senso chiamarlo assioma (mi sono permesso di aggiungere una parentesi mancante).
A questo punto pero' bisognerebbe vedere come assioma anche la definizione di sottoinsieme, che diventerebbe $(\forall A)(\forall B)(A\subseteq B\Leftrightarrow (\forall C)(C\in A\Rightarrow C\in B))$ quindi mi risulta sensato considerare anche l'assioma di specificazione effettivamente come un assioma.
Grazie per i chiarimenti.[/quote]
capisco solamente ora cosa intendevi, il tuo era solo, forse e penso, un problema di impostazione dei concetti... ti posto la seguente pagina ove potrai vedere tutti gli assiomi di ZF, diventa ZFC se si aggiunge a questi l'assioma della scelta:
http://www.scribd.com/doc/79215335/Loll ... ze#page=22
http://www.scribd.com/doc/79215335/Loll ... ze#page=23
Cordiali saluti
"Alfius":
[quote="GundamRX91"]Attenzione che l'assioma di estensionalità è definito come [tex](\forall A)(\forall B)(A = B \Leftrightarrow (\forall C)(C \in A \Leftrightarrow C \in B))[/tex]
In effetti scritto così ha molto più senso chiamarlo assioma (mi sono permesso di aggiungere una parentesi mancante).
A questo punto pero' bisognerebbe vedere come assioma anche la definizione di sottoinsieme, che diventerebbe $(\forall A)(\forall B)(A\subseteq B\Leftrightarrow (\forall C)(C\in A\Rightarrow C\in B))$ quindi mi risulta sensato considerare anche l'assioma di specificazione effettivamente come un assioma.
Grazie per i chiarimenti.
[/quote]capisco solamente ora cosa intendevi, il tuo era solo, forse e penso, un problema di impostazione dei concetti... ti posto la seguente pagina ove potrai vedere tutti gli assiomi di ZF, diventa ZFC se si aggiunge a questi l'assioma della scelta:
http://www.scribd.com/doc/79215335/Loll ... ze#page=22
http://www.scribd.com/doc/79215335/Loll ... ze#page=23
Cordiali saluti
∀A,∀B A=B⇔(∀x,(x∈A⇔x∈B)) è differente da (∀A)(∀B) A=B⇔(∀x,(x∈A∧x∈B)) date un occhiata qui, anch'io ci sono caduto; ma se si usa il simbolo$^^$, si esclude la possibilità che (∀x,(x∈A⇔x∈B)) sia vera con entrambe x∈A e x∈B false. 
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