Teoria Assiomatica degli Insiemi

[qxtr01]

Per quanto ne sappia, il linguaggio del primo ordine che viene utilizzato per formulare la teoria assiomatica degli insiemi è costituito dai seguenti simboli:

quantificatori: $\forall$, $\exists$
connettivi: $\neg$, $\wedge$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$
predicati: $=$, $\in$
variabili: $x_0$, $x_1$, $x_2$, ...[/list:u:q0m4lj0z]Come potete osservare non ho incluso ne funzioni ne, soprattutto, costanti.

Come posso fare, disponendo soltanto di questi simboli, ad espandere l'enunciato (falso) $\forall x_0(x_0=\emptyset)$?

Se il linguaggio disponesse di costanti, e tra queste ci fosse la costante $\emptyset$, allora non ci sarebbe bisogno di alcuna espansione. Però si porrebbe il problema, dal mio punto di vista forse ancor più difficile da risolvere, di sapere se oltre a $\emptyset$ ci sono altre costanti, e in questo caso di quali simboli utilizzare per indicarle (uno per ogni insieme?).

Grazie.

[Luc@s]

che assiomatica è? io conosco, e sto studiando or ora, quella ZF.
Ti chiedo il nome giusto per curiosità e mi scuso se la cosa non è costruttiva riguardo la tua domanda

[qxtr01]

Si tratta di ZFC, anche se pure io ho optato per ignorare l'assioma della scelta (che non ho mai capito a cosa serva).

[qxtr01]

Forse ci sono riuscito, ma avrei bisogno di una conferma.

Sostanzialmente l'enunciato $\forall x_0(x_0\in\emptyset)$ ribadisce innanzitutto che esiste un unico insieme $\emptyset$ che non contiene elementi, e solo poi afferma anche che tale insieme è uguale ad $x_0$ per ogni scelta di $x_0$. In simboli: $(\forall x_0(\exists x_1(\forall x_2(x_2\notin x_1)\wedge\neg\exists x_2(\forall x_3(x_3\notin x_2)\wedge x_1\ne x_2)\wedge x_0=x_1)))$ (spero di non aver sbagliato a trascriverla...). Per facilitare la lettura della formula, posso dire che questa ha la forma $(\forall x_0(\exists x_1(E(x_1)\wedge U(x_1)\wedge x_0=x_1)))$ dove il predicato $E(x_1)$ sta per $x_1$ non contiene elementi e $U(x_1)$ sta per $x_1$ è unico.