Teoria assiomatica degli insiemi
Salve a tutti! 
Volevo proporre il seguente quesito:
si consideri i dieci assiomi della teoria degli insiemi (nomi presi da Wikipedia):
1. Assioma di estensionalità
2. Assioma dell'insieme vuoto
3. Assioma della coppia
4. Assioma dell'unione
5. Assioma dell'infinito
6. Assioma di specificazione
7. Assioma di rimpiazzamento
8. Assioma dell'insieme potenza
9. Assioma di regolarità
10. Assioma della scelta
Come si può vedere l'esistenza dell'unione di insiemi (così come il fatto che l'unione di insiemi sia ancora un insieme) ci è garantita dall'assioma dell'unione. A tal proposito mi chiedevo: a vostro parere cercare di formalizzare l'operazione di intersezione tra insiemi partendo da questi assiomi sarebbe un processo eccessivamente lungo e corposo? Voi da quali assiomi partireste?
Volevo proporre il seguente quesito:
si consideri i dieci assiomi della teoria degli insiemi (nomi presi da Wikipedia):
1. Assioma di estensionalità
2. Assioma dell'insieme vuoto
3. Assioma della coppia
4. Assioma dell'unione
5. Assioma dell'infinito
6. Assioma di specificazione
7. Assioma di rimpiazzamento
8. Assioma dell'insieme potenza
9. Assioma di regolarità
10. Assioma della scelta
Come si può vedere l'esistenza dell'unione di insiemi (così come il fatto che l'unione di insiemi sia ancora un insieme) ci è garantita dall'assioma dell'unione. A tal proposito mi chiedevo: a vostro parere cercare di formalizzare l'operazione di intersezione tra insiemi partendo da questi assiomi sarebbe un processo eccessivamente lungo e corposo? Voi da quali assiomi partireste?
Risposte
@Zuzzerello,
no per nnt... parti dal predicato, dati due insiemi \( A \) e \( B \)..., \( x \in A \wedge x \in B \) ... continua tu!
Saluti
"Zuzzerello":
Salve a tutti!
Volevo proporre il seguente quesito:
si consideri i dieci assiomi della teoria degli insiemi (nomi presi da Wikipedia):
1. Assioma di estensionalità
2. Assioma dell'insieme vuoto
3. Assioma della coppia
4. Assioma dell'unione
5. Assioma dell'infinito
6. Assioma di specificazione
7. Assioma di rimpiazzamento
8. Assioma dell'insieme potenza
9. Assioma di regolarità
10. Assioma della scelta
Come si può vedere l'esistenza dell'unione di insiemi (così come il fatto che l'unione di insiemi sia ancora un insieme) ci è garantita dall'assioma dell'unione. A tal proposito mi chiedevo: a vostro parere cercare di formalizzare l'operazione di intersezione tra insiemi partendo da questi assiomi sarebbe un processo eccessivamente lungo e corposo? Voi da quali assiomi partireste?
no per nnt... parti dal predicato, dati due insiemi \( A \) e \( B \)..., \( x \in A \wedge x \in B \) ... continua tu!
Saluti
Mmmh... In teoria però tutte le caratteristiche degli insiemi non dovrebbero derivare da alcuni dei dieci assiomi?
mmm caratteristiche? che intendi?
Saluti
http://logic.wikischolars.columbia.edu/file/view/Jech,+T.+J.+(2003).+Set+Theory+(The+3rd+millennium+ed.).pdf pg(8)
P.S.=Puoi vedere anche qui
Saluti
http://logic.wikischolars.columbia.edu/file/view/Jech,+T.+J.+(2003).+Set+Theory+(The+3rd+millennium+ed.).pdf pg(8)
P.S.=Puoi vedere anche qui
Per caratteristiche intendo qualsiasi risultato riguardo gli insiemi! 
comunque grazie per i link! La nozione di intersezione è (quasi) chiara!
comunque grazie per i link! La nozione di intersezione è (quasi) chiara!
@Zuzzerello,
diciamo che la nozione di caratteristica è "quasi" chiara..
Saluti
P.S.=Non vorrei che il tuo dubbio sta nel predicato? Questo è espresso nel linguaggio della teoria degli insiemi presa in considerazione, il senso logico lo si conosce...
"Zuzzerello":
Per caratteristiche intendo qualsiasi risultato riguardo gli insiemi!
diciamo che la nozione di caratteristica è "quasi" chiara..
Saluti
P.S.=Non vorrei che il tuo dubbio sta nel predicato? Questo è espresso nel linguaggio della teoria degli insiemi presa in considerazione, il senso logico lo si conosce...
Pensavo si potesse dedurre l'intersezione esclusivamente dai dieci assiomi, non tenendo conto di nulla altro di fuori di essi....
@Zuzzerello,
lo deduci dall'assioma di specificazione in effetti..
Saluti
"Zuzzerello":
Pensavo si potesse dedurre l'intersezione esclusivamente dai dieci assiomi, non tenendo conto di nulla altro di fuori di essi....
lo deduci dall'assioma di specificazione in effetti..
Saluti
"garnak.olegovitc":
@Zuzzerello,
[quote="Zuzzerello"]Pensavo si potesse dedurre l'intersezione esclusivamente dai dieci assiomi, non tenendo conto di nulla altro di fuori di essi....
lo deduci dall'assioma di specificazione in effetti..
Saluti[/quote]
Mmmh, interessante.... non sembra così immediato.... Potrei utilizzare insiemi contenenti elementi che soddisfano a determinate proprietà e definire il loro insieme intersezione come l'insieme i cui elementi godono in contemporanea di tutte le proprietà degli insiemi di partenza (in tal caso serve la logica).... è ben definito in questo modo?
@Zuzzerello,
lo deduci dall'assioma di specificazione in effetti..
Saluti[/quote]
Mmmh, interessante.... non sembra così immediato.... Potrei utilizzare insiemi contenenti elementi che soddisfano a determinate proprietà e definire il loro insieme intersezione come l'insieme i cui elementi godono in contemporanea di tutte le proprietà degli insiemi di partenza (in tal caso serve la logica).... è ben definito in questo modo?[/quote]
si serve la logica tra predicati (proposizioni) scritti in linguaggio insiemistico (se vogliamo essere formali/fondazionali) Ti ricordò che il predicato binario dal quale parte la teoria degli insiemi è \( x \in X \) con \( x \) e \( X \) variabili.. questo ovviamente può essere negato avendo così un nuovo predicato \( x \notin X \), ma può essere composto con altri predicati del genere tipo \( x \in X \wedge y \in X \), etc etc... insomma sembra quasi divertente (attento alle contraddizioni però 
)
Saluti
P.S.= Se il tuo è un corso base (tipo algebra o analisi) il Pagani Salsa e il Prodi riescono a livello basilare a darti idea di cosa si intende per "predicato/proprosizione espresso/a con linguaggio insiemistico".. !!
"Zuzzerello":
[quote="garnak.olegovitc"]@Zuzzerello,
[quote="Zuzzerello"]Pensavo si potesse dedurre l'intersezione esclusivamente dai dieci assiomi, non tenendo conto di nulla altro di fuori di essi....
lo deduci dall'assioma di specificazione in effetti..
Saluti[/quote]
Mmmh, interessante.... non sembra così immediato.... Potrei utilizzare insiemi contenenti elementi che soddisfano a determinate proprietà e definire il loro insieme intersezione come l'insieme i cui elementi godono in contemporanea di tutte le proprietà degli insiemi di partenza (in tal caso serve la logica).... è ben definito in questo modo?[/quote]
si serve la logica tra predicati (proposizioni) scritti in linguaggio insiemistico (se vogliamo essere formali/fondazionali)
Ti ricordò che il predicato binario dal quale parte la teoria degli insiemi è \( x \in X \) con \( x \) e \( X \) variabili.. questo ovviamente può essere negato avendo così un nuovo predicato \( x \notin X \), ma può essere composto con altri predicati del genere tipo \( x \in X \wedge y \in X \), etc etc... insomma sembra quasi divertente (attento alle contraddizioni però )Saluti
P.S.= Se il tuo è un corso base (tipo algebra o analisi) il Pagani Salsa e il Prodi riescono a livello basilare a darti idea di cosa si intende per "predicato/proprosizione espresso/a con linguaggio insiemistico".. !!
Ok ok! Grazie mille! tutto il discorso è molto affascinante! Però ci vorrebbe non poco a dedurre tutti i risultati utili di base della teoria degli insiemi a partire dai dieci assiomi formalizzando a dovere l'esposizione! :/
tutto il discorso è molto affascinante! Però ci vorrebbe non poco a dedurre tutti i risultati utili di base della teoria degli insiemi a partire dai dieci assiomi formalizzando a dovere l'esposizione! :/
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