Teorema sulle classi di equivalenza dei numeri interi
Stavo studiando per conto mio alcuni argomenti di teoria dei numeri. In particolare ero interessato alle varie definizioni formali di numero intero. Io sono partito dimostrando che la relazione $R sube NN^2 times NN^2 $ definita come $(a,b) R (c,d) iff a + d = c + b$ è una relazione di equivalenza, e fin qui nessun problema.
Da ciò si possono definire in numeri interi come l'insieme quoziente di $NN^2$ secondo tale relazione di equivalenza.
Poi, per potermi riportare alla notazione usuale dei numeri interi devo dimostrare che ogni classe di equivalenza è costituita da un unico elemento nella forma $(a_1,b_1)$ con $a_1 = 0 \vee b_1 = 0$ ma non ho proprio idea di come fare. Qualcuno mi può aiutare.
Da ciò si possono definire in numeri interi come l'insieme quoziente di $NN^2$ secondo tale relazione di equivalenza.
Poi, per potermi riportare alla notazione usuale dei numeri interi devo dimostrare che ogni classe di equivalenza è costituita da un unico elemento nella forma $(a_1,b_1)$ con $a_1 = 0 \vee b_1 = 0$ ma non ho proprio idea di come fare. Qualcuno mi può aiutare.
Risposte
Non so se ho ben capito il quesito, ma mi viene in mente che $ZZ$ può essere considerato come un sovrainsieme di $NN$ tramite la seguente immersione canonica:
$i: NN -> ZZ$
$a |-> (a, 0)_-=$
tale che se $a=(a,0)_-= => -a=(0,a)_-=$, dove $-=$ è la relazione di equivalenza prima indicata.
Credo...
$i: NN -> ZZ$
$a |-> (a, 0)_-=$
tale che se $a=(a,0)_-= => -a=(0,a)_-=$, dove $-=$ è la relazione di equivalenza prima indicata.
Credo...
Sì, quello è il teorema successivo. In mezzo però devi dimostrare che ciascuna classe di equivalenza (che non è altro che un intero secondo la definizione data) è costituita da un unico elemento, e che quell'elemento ha solo una delle due componenti della coppia d'equivalenza, altrimenti non sei sicuro che prendendo una classe di equivalenza associ ad un intero uno e un solo elemento, perché in generale una classe di equivalenza contiene più elementi.
Ad esempio con $QQ$ che è il campo delle frazioni di $ZZ$, si ha che una frazione è una classe di equivalenza di coppie di interi, ma in questo caso una classe di equivalenza contiene più coppie diverse (ad esempio la classe di equivalenza associata alla frazione 2/3 contiene anche 4/6, 8/12 e così via), mentre nel caso degli interi puoi dire che la classe di equivalenza è proprio un intero, è sostanzialmente un singolo elemento.
Ad esempio con $QQ$ che è il campo delle frazioni di $ZZ$, si ha che una frazione è una classe di equivalenza di coppie di interi, ma in questo caso una classe di equivalenza contiene più coppie diverse (ad esempio la classe di equivalenza associata alla frazione 2/3 contiene anche 4/6, 8/12 e così via), mentre nel caso degli interi puoi dire che la classe di equivalenza è proprio un intero, è sostanzialmente un singolo elemento.
Non ne sono sicuro, ma dovrebbe essere come ho scritto.
Nel momento che definisci la relazione di equivalenza $(a,b)-=(c,d) <=> a+d=b+c$ e la relativa classe di equivalenza $(a,b)_-= ={(h,k) in NN xx NN | (h,k)-=(a,b)}$ che rappresenta il numero $r=a-b$, con l'immersione canonica puoi appunto "rappresentare" un intero in modo classico: $5, -5, 6, -6$ che corrispondono alle classi di equivalenza $(5,0)_-=, (0,5)_-=,(6,0)_-=,(0,6)_-=$.
Non dovrebbe servire altro....
Nel momento che definisci la relazione di equivalenza $(a,b)-=(c,d) <=> a+d=b+c$ e la relativa classe di equivalenza $(a,b)_-= ={(h,k) in NN xx NN | (h,k)-=(a,b)}$ che rappresenta il numero $r=a-b$, con l'immersione canonica puoi appunto "rappresentare" un intero in modo classico: $5, -5, 6, -6$ che corrispondono alle classi di equivalenza $(5,0)_-=, (0,5)_-=,(6,0)_-=,(0,6)_-=$.
Non dovrebbe servire altro....
Ok, con l'immersione canonica riesci a trovare una rappresentazione per la coppia $(a,0)$, ma ad esempio non escludi l'esistenza di altri elementi della classe, tipo $(4,6)$ e $(1,3)$ che soddisfano la relazione di equivalenza e stanno nella stessa classe. Con il teorema che dico io non solo riesci a che $(0,2)$ è una rappresentazione dell'intero -2, ma anche che $(4,6)$ e $(1,3)$ indicano lo STESSO intero, mentre ad esempio con le frazioni questo non lo puoi fare perché ad esempio $(2,3)$, $(4,6)$ e $(8,12)$ sono elementi della stessa classe di equivalenza ma non si riducono allo STESSO elemento, sono solo EQUIVALENTI tra loro (non UGUALI insomma).
Comunque forse ho risolto.
Comunque forse ho risolto.
Allora non so, però sono curioso quindi se puoi postare la tua soluzione te ne sarei grato 
"Ext3rmin4tor":
Da ciò si possono definire in numeri interi come l'insieme quoziente di $NN^2$ secondo tale relazione di equivalenza.
Adesso dovresti definire l'addizione in $ Z $, altrimenti che struttura è se non ha un'operazione? E per definire l' operazione $ + $ in $ N^{2}/R $ devi far vedere che se $ (a_1,b_1)R(a_2,b_2) $ e $ (c_1,d_1)R(c_2,d_2) $ allora $ (a_1+c_1,b_1+d_1)R(a_2+c_2,b_2+d_2) $ (questo perchè definisci un'operazione fra classi di equivalenza...)
Ok, questo è il passo successivo, a me interessava dimostrare che data una classe di equivalenza essa ha un unico elemento del tipo (0,0) oppure (a,0) oppure (0,a) e quindi ogni intero può essere rappresentato come +a = (a,0), -a = (0,a) oppure 0 = (0,0).
Ah ok allora basta che fai vedere che $ (a_1,0)R(a_2,0) \rightarrow a_1+0=a_2+0 \rightarrow a_1=a_2 $ .
Analogamente se $ (0,a_1)R(0,a_2) \rightarrow a_1=a_2 $ . Inoltre se $ (a_1,0)R(0,a_2) \rightarrow a_1+a_2=0 \rightarrow a_1=a_2=0 $ O sbaglio?
Analogamente se $ (0,a_1)R(0,a_2) \rightarrow a_1=a_2 $ . Inoltre se $ (a_1,0)R(0,a_2) \rightarrow a_1+a_2=0 \rightarrow a_1=a_2=0 $ O sbaglio?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo