Teorema fondamentale dell'algebra: dimostrazioni
Teorema: ogni polinomio in una variabile a coefficienti complessi, non costante, ha una radice complessa.
Quante dimostrazioni esistono di questo teorema? Io ne ho incontrate 3, fra cui una tutta algebrica (ed era ora) che usa la teoria di Galois, che poi magari posto.
Volevo fare una sorta di censimento, chi inizia?
Quante dimostrazioni esistono di questo teorema? Io ne ho incontrate 3, fra cui una tutta algebrica (ed era ora) che usa la teoria di Galois, che poi magari posto.
Volevo fare una sorta di censimento, chi inizia?
Risposte
Una delle più semplici e classiche usa la teoria delle funzioni olomorfe; in particolare il teorema di Liouville (se ricordo bene).
"gugo82":
Una delle più semplici e classiche usa la teoria delle funzioni olomorfe; in particolare il teorema di Liouville (se ricordo bene).
Non mi sembra di conoscerla, magari se hai tempo e voglia postala. Questo intendevo quando ho parlato di censimento.
Una curiosità: quella che dice Gugo è la dimostrazione a cui fa riferimento J.S.Milne qui, pag.49 nota 18.
Ok alvin...Ti accontento subito (dato che ci vogliono davvero due righe).
Un fatto fondamentale di Analisi Complessa è il seguente Teorema di Liouville:
(Questo non è vero in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]: ad esempio [tex]$\frac{1}{1+x^2}$[/tex] è limitata e di classe [tex]$C^\infty$[/tex] ma si guarda bene dall'essere costante!)
Il risultato di Liouville si dimostra usando alcune stime che conseguono dal Teorema integrale di Cauchy.
Vogliamo provare il Teorema Fondamentale dell'Algebra:
Prima d'iniziare, una richiesta di clemenza: consentitemi di confondere, come fa ogni buon analista, il polinomio [tex]$P\in \mathbb{C}[Z]$[/tex] con l'applicazione polinomiale ad esso associata [tex]$P(z)$[/tex] (cosa che si può fare senz'altro perchè [tex]$\mathbb{C}$[/tex] è un campo "buono").
Dim.: Basta dimostrare che:
(A) [tex]$P(z) \text{ ha almeno una radice in } \mathbb{C}$[/tex].
Infatti, valendo l'algoritmo della divisione, se [tex]$P(z)$[/tex] ha una radice [tex]$z_0\in \mathbb{C}$[/tex], allora si scrive [tex]$P(z)=(z-z_0)\cdot Q(z)$[/tex] con [tex]$Q(z)$[/tex] polinomio di grado [tex]$\text{grad}(Q)=\text{grad}(P)-1$[/tex]; se [tex]$\text{grad}(Q)>0$[/tex], allora quanto provato consente di trovare una radice [tex]$z_1\in \mathbb{C}$[/tex] di [tex]$Q(z)$[/tex] e di scrivere [tex]$P(z)=(z-z_0)(z-z_1)\cdot R(z)$[/tex] con [tex]$\text{grad}(R)=\text{grad}(P)-2$[/tex]; etc... In tal modo, dopo [tex]$\text{grad}(P)$[/tex] passi, si ottiene [tex]$P(z)=c\cdot (z-z_0)(z-z_1)\ldots (z-z_{\text{grad}(P)})$[/tex] (con [tex]$c\in \mathbb{C}$[/tex]) sicché [tex]$P(z)$[/tex] ha tutte le sue radici in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Da ciò segue immediatamente che $\mathbb{C}$ è algebricamente chiuso.
Dimostriamo allora la (A).
Per assurdo, supponiamo che il polinomio [tex]$P(z)$[/tex] non abbia alcuna radice in [tex]$\mathbb{C}$[/tex]: in tal caso risulta ben definita in tutto [tex]$\mathbb{C}$[/tex] la funzione [tex]$f(z):=\frac{1}{P(z)}$[/tex] ed è inoltre anche olomorfa, giacché [tex]$P(z)$[/tex] è derivabile e risulta:
[tex]$f^\prime (z)=\frac{P^\prime (z)}{P^2(z)}$[/tex].
Si ha:
1. [tex]$\lim_{z\to \infty} |P(z)|=+\infty$[/tex], cosicché [tex]$\lim_{z\to \infty} |f(z)|=0$[/tex] quindi fissato [tex]$\varepsilon =1$[/tex] esiste un [tex]$R>0$[/tex] tale che per [tex]$|z|>R$[/tex] si ha [tex]$|f(z)|\leq 1$[/tex];
2. la [tex]$f(z)$[/tex] è continua e, per il teorema di Weierstrass, la funzione reale [tex]$|f(z)|$[/tex] è dotata di massimo in [tex]$|z|\leq R$[/tex]: perciò esiste [tex]$L>0$[/tex] tale che per [tex]$|z|\leq R$[/tex] si ha [tex]$|f(z)|\leq L$[/tex].
Le 1 e 2 implicano:
[tex]$\forall z\in \mathbb{C} ,\ |f(z)|\leq \max \{ 1, L\}$[/tex],
cosicché [tex]$f(z)$[/tex] è limitata in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Il Teorema di Liouville assicura che [tex]$f(z)$[/tex] è costante (e non nulla, poiché il numeratore è [tex]$1\neq 0$[/tex]) e ciò importa che [tex]$P(z)$[/tex] è costante, ossia che [tex]$\text{grad}(P)=0$[/tex]; ma cio è assurdo in quanto abbiamo supposto che [tex]$\text{grad}(P)\geq 1$[/tex].
Pertanto [tex]$P(z)$[/tex] ha almeno una radice in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], ossia vale la (A). [tex]$\square$[/tex]
@dissonance:
Concordo.
Un fatto fondamentale di Analisi Complessa è il seguente Teorema di Liouville:
Le uniche funzioni intere limitate sono le funzioni costanti; il che equivale a dire che se [tex]$f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$[/tex] è una funzione olomorfa (i.e. derivabile in senso complesso) in tutto [tex]$\mathbb{C}$[/tex] e se esiste un [tex]$M\geq 0$[/tex] tale che:
[tex]$\forall z\in \mathbb{C} ,\ |f(z)|\leq M$[/tex]
allora [tex]$f$[/tex] è costante.
(Questo non è vero in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]: ad esempio [tex]$\frac{1}{1+x^2}$[/tex] è limitata e di classe [tex]$C^\infty$[/tex] ma si guarda bene dall'essere costante!)
Il risultato di Liouville si dimostra usando alcune stime che conseguono dal Teorema integrale di Cauchy.
Vogliamo provare il Teorema Fondamentale dell'Algebra:
Se [tex]$P(z)$[/tex] è un polinomio di grado [tex]$\geq 1$[/tex] a coefficienti in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] allora [tex]$P(z)$[/tex] ha tutte le sue radici in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Conseguentemente [tex]$\mathbb{C}$[/tex] è un campo algebricamente chiuso.
Prima d'iniziare, una richiesta di clemenza: consentitemi di confondere, come fa ogni buon analista, il polinomio [tex]$P\in \mathbb{C}[Z]$[/tex] con l'applicazione polinomiale ad esso associata [tex]$P(z)$[/tex] (cosa che si può fare senz'altro perchè [tex]$\mathbb{C}$[/tex] è un campo "buono").
Dim.: Basta dimostrare che:
(A) [tex]$P(z) \text{ ha almeno una radice in } \mathbb{C}$[/tex].
Infatti, valendo l'algoritmo della divisione, se [tex]$P(z)$[/tex] ha una radice [tex]$z_0\in \mathbb{C}$[/tex], allora si scrive [tex]$P(z)=(z-z_0)\cdot Q(z)$[/tex] con [tex]$Q(z)$[/tex] polinomio di grado [tex]$\text{grad}(Q)=\text{grad}(P)-1$[/tex]; se [tex]$\text{grad}(Q)>0$[/tex], allora quanto provato consente di trovare una radice [tex]$z_1\in \mathbb{C}$[/tex] di [tex]$Q(z)$[/tex] e di scrivere [tex]$P(z)=(z-z_0)(z-z_1)\cdot R(z)$[/tex] con [tex]$\text{grad}(R)=\text{grad}(P)-2$[/tex]; etc... In tal modo, dopo [tex]$\text{grad}(P)$[/tex] passi, si ottiene [tex]$P(z)=c\cdot (z-z_0)(z-z_1)\ldots (z-z_{\text{grad}(P)})$[/tex] (con [tex]$c\in \mathbb{C}$[/tex]) sicché [tex]$P(z)$[/tex] ha tutte le sue radici in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Da ciò segue immediatamente che $\mathbb{C}$ è algebricamente chiuso.
Dimostriamo allora la (A).
Per assurdo, supponiamo che il polinomio [tex]$P(z)$[/tex] non abbia alcuna radice in [tex]$\mathbb{C}$[/tex]: in tal caso risulta ben definita in tutto [tex]$\mathbb{C}$[/tex] la funzione [tex]$f(z):=\frac{1}{P(z)}$[/tex] ed è inoltre anche olomorfa, giacché [tex]$P(z)$[/tex] è derivabile e risulta:
[tex]$f^\prime (z)=\frac{P^\prime (z)}{P^2(z)}$[/tex].
Si ha:
1. [tex]$\lim_{z\to \infty} |P(z)|=+\infty$[/tex], cosicché [tex]$\lim_{z\to \infty} |f(z)|=0$[/tex] quindi fissato [tex]$\varepsilon =1$[/tex] esiste un [tex]$R>0$[/tex] tale che per [tex]$|z|>R$[/tex] si ha [tex]$|f(z)|\leq 1$[/tex];
2. la [tex]$f(z)$[/tex] è continua e, per il teorema di Weierstrass, la funzione reale [tex]$|f(z)|$[/tex] è dotata di massimo in [tex]$|z|\leq R$[/tex]: perciò esiste [tex]$L>0$[/tex] tale che per [tex]$|z|\leq R$[/tex] si ha [tex]$|f(z)|\leq L$[/tex].
Le 1 e 2 implicano:
[tex]$\forall z\in \mathbb{C} ,\ |f(z)|\leq \max \{ 1, L\}$[/tex],
cosicché [tex]$f(z)$[/tex] è limitata in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Il Teorema di Liouville assicura che [tex]$f(z)$[/tex] è costante (e non nulla, poiché il numeratore è [tex]$1\neq 0$[/tex]) e ciò importa che [tex]$P(z)$[/tex] è costante, ossia che [tex]$\text{grad}(P)=0$[/tex]; ma cio è assurdo in quanto abbiamo supposto che [tex]$\text{grad}(P)\geq 1$[/tex].
Pertanto [tex]$P(z)$[/tex] ha almeno una radice in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], ossia vale la (A). [tex]$\square$[/tex]
@dissonance:
"dissonance":
Una curiosità: quella che dice Gugo è la dimostrazione a cui fa riferimento J.S.Milne qui, pag.49 nota 18.
Concordo.
"alvinlee88":Sicuro che sia tutta algebrica? A quanto ne so non esistono dimostrazioni solo algebriche perché la costruzione di $CC$ non è algebrica. Tipicamente bisogna usare almeno il fatto che ogni polinomio reale di grado dispari ha una radice reale, e questo non è un risultato dimostrabile algebricamente.
Io ne ho incontrate 3, fra cui una tutta algebrica (ed era ora)
"Martino":Sicuro che sia tutta algebrica? A quanto ne so non esistono dimostrazioni solo algebriche perché la costruzione di $CC$ non è algebrica. Tipicamente bisogna usare almeno il fatto che ogni polinomio reale di grado dispari ha una radice reale, e questo non è un risultato dimostrabile algebricamente.[/quote]
[quote="alvinlee88"]Io ne ho incontrate 3, fra cui una tutta algebrica (ed era ora)
Comincio a sospettare che io e alvinlee88 abbiamo seguito lo stesso corso di algebra
Comunque è vero, se la dimostrazione è la stessa, di analisi si deve solo dimostrare che i polinomi di grado dispari hanno una radice reale
Scusate per il leggero OT, al massimo apro un altro topic ma sarei interessato a una cosa.
Che cosa si intende? Premetto (come Martino già sa) che ho appena finito il corso di Algebra I, per cui le mie conoscenze sono senza dubbio inferiori alle vostre. Tuttavia, ho studiato in questo modo: all'inizio del corso, quando abbiamo dato le definizioni delle strutture algebriche, abbiamo strutturato $CC$ come campo con delle operazioni piovute dal cielo (create ad hoc perchè diventasse un campo).
Ovviamente, poi approfondito il discorso e proprio nelle ultime lezioni siamo arrivati a vedere $CC$ come (l'anello) quoziente di $RR[x]//(x^2+1)$, dove $(x^2+1)$ è l'ideale principale generato da $x^2+1$.
So poi che si può vedere $CC$ come estensione di $RR$ (ma questo non lo abbiamo visto a lezione, per cui non so benissimo che cosa si intenda: se aggiungo $i$ ad $RR$ ottengo $CC$ che è algebricamente chiuso, ma ripeto, non abbiamo visto estensioni di campi).
In ogni caso, pensavo che la costruzione di $CC$ fosse algebrica.
Che cosa mi sono perso?
Perdonate la mia curiosità
.
E grazie di tutto
"Martino":
[...]perché la costruzione di $CC$ non è algebrica.[...]
Che cosa si intende? Premetto (come Martino già sa) che ho appena finito il corso di Algebra I, per cui le mie conoscenze sono senza dubbio inferiori alle vostre. Tuttavia, ho studiato in questo modo: all'inizio del corso, quando abbiamo dato le definizioni delle strutture algebriche, abbiamo strutturato $CC$ come campo con delle operazioni piovute dal cielo (create ad hoc perchè diventasse un campo).
Ovviamente, poi approfondito il discorso e proprio nelle ultime lezioni siamo arrivati a vedere $CC$ come (l'anello) quoziente di $RR[x]//(x^2+1)$, dove $(x^2+1)$ è l'ideale principale generato da $x^2+1$.
So poi che si può vedere $CC$ come estensione di $RR$ (ma questo non lo abbiamo visto a lezione, per cui non so benissimo che cosa si intenda: se aggiungo $i$ ad $RR$ ottengo $CC$ che è algebricamente chiuso, ma ripeto, non abbiamo visto estensioni di campi).
In ogni caso, pensavo che la costruzione di $CC$ fosse algebrica.
Che cosa mi sono perso?
Perdonate la mia curiosità
. E grazie di tutto
"Paolo90":Che cosa si intende? Premetto (come Martino già sa) che ho appena finito il corso di Algebra I, per cui le mie conoscenze sono senza dubbio inferiori alle vostre. Tuttavia, ho studiato in questo modo: all'inizio del corso, quando abbiamo dato le definizioni delle strutture algebriche, abbiamo strutturato $CC$ come campo con delle operazioni piovute dal cielo (create ad hoc perchè diventasse un campo).
[quote="Martino"] [...]perché la costruzione di $CC$ non è algebrica.[...]
Ovviamente, poi approfondito il discorso e proprio nelle ultime lezioni siamo arrivati a vedere $CC$ come (l'anello) quoziente di $RR[x]//(x^2+1)$, dove $(x^2+1)$ è l'ideale principale generato da $x^2+1$.[/quote]La questione è controversa, e non sono nemmeno sicuro di averla capita bene. Comunque la costruzione di $CC$ implica la costruzione di $RR$, e la costruzione di $RR$ non è algebrica, nel senso che per poter lavorare con $RR$ in un certo senso si identifica tale insieme alle sue proprietà (di solito lo si pensa come il completamento dello spazio metrico $QQ$). E le sue proprietà sono per lo più analitiche. In un certo senso $RR$ è un arricchimento analitico di $QQ$. Senza una qualche nozione di "completezza" temo che non vedremmo differenze sostanziali tra $QQ$ e $RR$. Quindi forse il punto è: $RR$ è definibile algebricamente (per esempio usando le sezioni di Dedekind) ma per poterci lavorare occorrono le sue proprietà analitiche.
Ma naturalmente questa è solo la mia opinione.
Ho aperto una nuova discussione per evitare di intasare il topic di alvinlee88. Grazie Martino per il tuo intervento e scusate l'intrusione.
Io conosco una dimostrazione topologica!
E' nel capitolo 16 pag. 157 di "Introduzione alla topologia algebrica", C. Kosniowski, Zanichelli. La dimostrazione usa il fatto che la circonferenza $S^1$ ha $ZZ$ come gruppo fondamentale. Se volete, la riporto.
Edit: Sono andato a controllare. La dimostrazione è anche nel Sernesi 2, pag. 160.
E' nel capitolo 16 pag. 157 di "Introduzione alla topologia algebrica", C. Kosniowski, Zanichelli. La dimostrazione usa il fatto che la circonferenza $S^1$ ha $ZZ$ come gruppo fondamentale. Se volete, la riporto.
Edit: Sono andato a controllare. La dimostrazione è anche nel Sernesi 2, pag. 160.
@Gugo82 La tua dim è simile a quella, diciamo, analitica che conoscevo io, ma più semplice e veloce, mi garba.
@Martino
Mea culpa, in effetti usa che un polinomio di grado dispari ha almeno una radice reale. Quindi non è tutta algebrica, ma diciamo prevalentemente algebrica: oltre a questo fatto analitico, si basa su teoria dei p-gruppi e teoria di galois. Appena ho un attimo la posto
@Angus89
Boh, non credo, a meno che tu non abbia fatto la primina o sei un anno avanti, per cui hai seguito quel corso con me (io studio a Pisa), dato che credo di capire che sei dell'89. E in ogni caso questa dim l'ho socperta una settimana fa dal blog di un amico, non l'avevamo fatta a lezione. Quindi mi sa che ti sbagli...
@Martino
Mea culpa, in effetti usa che un polinomio di grado dispari ha almeno una radice reale. Quindi non è tutta algebrica, ma diciamo prevalentemente algebrica: oltre a questo fatto analitico, si basa su teoria dei p-gruppi e teoria di galois. Appena ho un attimo la posto
@Angus89
Boh, non credo, a meno che tu non abbia fatto la primina o sei un anno avanti, per cui hai seguito quel corso con me (io studio a Pisa), dato che credo di capire che sei dell'89. E in ogni caso questa dim l'ho socperta una settimana fa dal blog di un amico, non l'avevamo fatta a lezione. Quindi mi sa che ti sbagli...
Non per fare il guastafeste, ma probabilmente non si può prescindere nemmeno dal seguente fatto "analitico": ogni numero reale non negativo ammette una radice quadrata in $RR$. Questo è per liberarsi delle estensioni di grado 2.
O meglio, ora che ci penso dipende da come sono stati definiti i numeri reali, ma siamo sempre lì.
O meglio, ora che ci penso dipende da come sono stati definiti i numeri reali, ma siamo sempre lì.
@alvinlee88 Anch'io studio a Pisa e il nostro prof di algebra ci ha fatto questa dimostrazione usando proprio quello che dici te, comunque si sono dell'89
@Martino Bè il fatto che $RR$ sia chiuso per estrazione di radice quadrata per i positivi ce l'abbiamo dall'analisi, questo è vero, ma dipende da come si definiscono le cose, magari si potrebbe benissimo fare la costruzione algebrica.
Però è necessario fissare un pò di cose come ad esempio quali sono le proprietà algebriche di $RR$?Ovvero cosa possiamo usare?
@Martino Bè il fatto che $RR$ sia chiuso per estrazione di radice quadrata per i positivi ce l'abbiamo dall'analisi, questo è vero, ma dipende da come si definiscono le cose, magari si potrebbe benissimo fare la costruzione algebrica.
Però è necessario fissare un pò di cose come ad esempio quali sono le proprietà algebriche di $RR$?Ovvero cosa possiamo usare?
"Martino":
Non per fare il guastafeste, ma probabilmente non si può prescindere nemmeno dal seguente fatto "analitico": ogni numero reale non negativo ammette una radice quadrata in $RR$. Questo è per liberarsi delle estensioni di grado 2.
O meglio, ora che ci penso dipende da come sono stati definiti i numeri reali, ma siamo sempre lì.
Si, hai ancora ragione, possiamo chiamarlo "fatto analitico", come dici dipende dalla costruzione. Per l'appunto la dim di cui parlo riconduce il tutto a liberarsi delle estensioni di grado 2.
"alvinlee88":Allora penso sia la stessa che ho visto anch'io nel corso di teoria di Galois. Me la sono riletta oggi, davvero bella.
Si, hai ancora ragione, possiamo chiamarlo "fatto analitico", come dici dipende dalla costruzione. Per l'appunto la dim di cui parlo riconduce il tutto a liberarsi delle estensioni di grado 2.
Sul libro di Sernesi che diceva cirasa c'è un'altra dimostrazione ancora, che usa la compattezza locale di $CC$. E' al §9.14, esempio 8, pag. 111.
[OT]
Beh, se per "fatto analitico" intendi qualcosa che discende dal teorema di esistenza dell'estremo superiore (o equivalentemente dall'assioma di continuità di Dedekind, ACD), allora l'esistenza della radice quadrata è un "fatto analitico".
Ed in effetti quel che distingue la costruzione di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] da quella di [tex]$\mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{C}$[/tex] sta proprio in quella cosa lì, nell'ACD: infatti uno, algebricamente parlando (correggimi se sbaglio), potrebbe passare da [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] a [tex]$\mathbb{C}$[/tex] senza accorgersi che "in mezzo c'è un buco" (infatti [tex]$\mathbb{C}$[/tex] è il più piccolo campo algebricamente chiuso contenente [tex]$\mathbb{Q}$[/tex]).
La costruzione di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] vien fatta solo per avere un campo soddisfacente l'ACD, che non serve a nient'altro che a "fare Analisi".
[/OT]
"Martino":
Non per fare il guastafeste, ma probabilmente non si può prescindere nemmeno dal seguente fatto "analitico": ogni numero reale non negativo ammette una radice quadrata in $RR$. [...]
O meglio, ora che ci penso dipende da come sono stati definiti i numeri reali, ma siamo sempre lì.
Beh, se per "fatto analitico" intendi qualcosa che discende dal teorema di esistenza dell'estremo superiore (o equivalentemente dall'assioma di continuità di Dedekind, ACD), allora l'esistenza della radice quadrata è un "fatto analitico".
Ed in effetti quel che distingue la costruzione di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] da quella di [tex]$\mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{C}$[/tex] sta proprio in quella cosa lì, nell'ACD: infatti uno, algebricamente parlando (correggimi se sbaglio), potrebbe passare da [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] a [tex]$\mathbb{C}$[/tex] senza accorgersi che "in mezzo c'è un buco" (infatti [tex]$\mathbb{C}$[/tex] è il più piccolo campo algebricamente chiuso contenente [tex]$\mathbb{Q}$[/tex]).
La costruzione di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] vien fatta solo per avere un campo soddisfacente l'ACD, che non serve a nient'altro che a "fare Analisi".
[/OT]
"gugo82":
(infatti [tex]$\mathbb{C}$[/tex] è il più piccolo campo algebricamente chiuso contenente [tex]$\mathbb{Q}$[/tex])
Premetto che non ho studiato quest'argomento in alcun mio esame, ma un giorno, svagandomi su Internet, lessi questo
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_algebrico
dove si dice che "i numeri algebrici" sono la chiusura algebrica di $QQ$, e sono propriamente contenuti in $CC$.
"Gaal Dornick":
[quote="gugo82"](infatti [tex]$\mathbb{C}$[/tex] è il più piccolo campo algebricamente chiuso contenente [tex]$\mathbb{Q}$[/tex])
Premetto che non ho studiato quest'argomento in alcun mio esame, ma un giorno, svagandomi su Internet, lessi questo
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_algebrico
dove si dice che "i numeri algebrici" sono la chiusura algebrica di $QQ$, e sono propriamente contenuti in $CC$.[/quote]
Infatti avevo messo le mani avanti...
"gugo82":
(correggimi se sbaglio)
Ovviamente, mi accorgo ora dell'errore: non avevo assolutamente pensato che il completamento algebrico di [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] ha da essere numerabile... Errore da due soldi.
Ad ogni modo, il fatto "resta". La costruzione di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] è fatta per avere una proprietà dell'ordine (esistenza dell'estremo superiore) che c'entra poco con le usuali beghe algebriche.
Ok, da profano allora chiedo: perchè dev'essere numerabile?
Ci provo: ogni elemento dei "numeri algebrici" è una radice di un polinomio.
Quanti polinomi ci sono? sono numerabili, poichè ogni polinomio di grado $n-1$ è una n-upla di $QQ^n$ (assegno i coefficienti), insomma, ci sono numerabili polinomi di grado $n$, e unione numerabile di numerabili è numerabile). E unione finita (le radici di un polinomio sono finite) di numerabili è numerabile. Penso funzioni.
Ci provo: ogni elemento dei "numeri algebrici" è una radice di un polinomio.
Quanti polinomi ci sono? sono numerabili, poichè ogni polinomio di grado $n-1$ è una n-upla di $QQ^n$ (assegno i coefficienti), insomma, ci sono numerabili polinomi di grado $n$, e unione numerabile di numerabili è numerabile). E unione finita (le radici di un polinomio sono finite) di numerabili è numerabile. Penso funzioni.
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