Teorema di Sylow
Ciao a tutti..
Lunedi avrò l'esame di algebra 2.. e sono abbastanza preparata.. ho solo dei problemi con Sylow.. ad esempio vi posto il testo dell'esercizio che mi ha messo in crisi..
http://img710.imageshack.us/img710
il primo punto è abbastanza chiaro, cioè pre trovare quanti sono applico il 3 teorema di Sylow, e mi risulta che possano essere o 1 o 3.
ma sono tutti ciclici? come faccio a dimostrarlo??
il secondo punto invece non riesco proprio a capire cosa mi viene chiesto!! cosa vuol dire che si intersecano a due a due in un sottogruppo di ordine 2?=( grazie mille!
Lunedi avrò l'esame di algebra 2.. e sono abbastanza preparata.. ho solo dei problemi con Sylow.. ad esempio vi posto il testo dell'esercizio che mi ha messo in crisi..
http://img710.imageshack.us/img710
il primo punto è abbastanza chiaro, cioè pre trovare quanti sono applico il 3 teorema di Sylow, e mi risulta che possano essere o 1 o 3.
ma sono tutti ciclici? come faccio a dimostrarlo??
il secondo punto invece non riesco proprio a capire cosa mi viene chiesto!! cosa vuol dire che si intersecano a due a due in un sottogruppo di ordine 2?=( grazie mille!
Risposte
forse non si vede l'esercizio vero? riprovo a postarlo..scusate sono impedita!
http://yfrog.com/jqistantanea2010020611482p
http://yfrog.com/jqistantanea2010020611482p
I 2-Sylow di $A_4$ non sono ciclici. Dove l'hai preso l'esercizio?
da una prova esame del mio professore!! vero che non sono ciclici???? anche io l'avrei detto anche se non l avrei saputo dimostrare!=(
Non è difficile mostrare che i 2-sylow di $A_4$ non sono ciclici: se lo fossero esisterebbero in $A_4$ elementi di ordine 4. Ma un elemento di ordine 4 deve ammettere un 4-ciclo nella decomposizione. Quindi un elemento di $A_4$ di ordine 4 deve essere un 4-ciclo. Ma i 4-cicli sono dispari.
L'altro punto è un po' più sadico. Per mostrare che i $2$-Sylow di $S_4$ sono $D_8$ puoi costruire un'opportuna azione fedele di $D_8$ su 4 punti. L'esercizio ti chiede di mostrare che se prendi due qualsiasi $2$-Sylow di $S_4$ e li intersechi ottieni un sottogruppo di ordine 2.
L'altro punto è un po' più sadico. Per mostrare che i $2$-Sylow di $S_4$ sono $D_8$ puoi costruire un'opportuna azione fedele di $D_8$ su 4 punti. L'esercizio ti chiede di mostrare che se prendi due qualsiasi $2$-Sylow di $S_4$ e li intersechi ottieni un sottogruppo di ordine 2.
Il primo punto ora è chiarissimo, Grazie!!!
L'altro insomma=( cioè ho capito piu o meno il procedimento..però non riesco tanto a farlo.. ok, costruisco l'azione fedele di D8..ma poi faccio semplicemente l'intersezione tra i due 2-Sylow e vedo che mi forma un sottogruppo di ordine 2? =(
L'altro insomma=( cioè ho capito piu o meno il procedimento..però non riesco tanto a farlo.. ok, costruisco l'azione fedele di D8..ma poi faccio semplicemente l'intersezione tra i due 2-Sylow e vedo che mi forma un sottogruppo di ordine 2? =(
"simonina_2":In teoria sì, se la consegna non fosse sbagliata (ma che professore hai?
faccio semplicemente l'intersezione tra i due 2-Sylow e vedo che mi forma un sottogruppo di ordine 2? =(
).Osserva che $S_4$ ha un sottogruppo di ordine 4 (il gruppo di Klein) ed esso è normale. Ricorda che ogni p-sottogruppo è contenuto in qualche p-Sylow. In particolare se un p-sottogruppo è normale allora è contenuto in ogni p-Sylow (i p-Sylow sono a due a due coniugati). Quindi in questo caso l'intersezione di ogni due 2-Sylow ha ordine 4.
Se vuoi vederlo direttamente, fai il conto. I 2-Sylow sono i seguenti:
[tex]\langle (1234),(24) \rangle[/tex]
[tex]\langle (1423),(34) \rangle[/tex]
[tex]\langle (1342),(23) \rangle[/tex]
Ho modificato.
Attenta comunque, il tuo professore mi sembra una mina vagante. E' davvero incredibile che ci siano due errori così grossolani nel testo di un esercizio.
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