Teorema di Sylow
Vi chiedo un aiuto, sto guardando i teoremi di Sylow e sto cercando a piccoli passi di capirli.
Ebbene, se io ho un gruppo $G$ di ordine $39$ in base ai teoremi di Sylow
essendo $39 = 3*13$ io trovo che
$13-Sylow$ è congruo a $1 mod 13$ e divide $3$, quindi c'è un unico $13$-sottogruppo di Sylow, $A$ che è normale in $G$.
Mentre il numero dei $3-Sylow$ è congruo a$ 1 mod 3$ e divide $13$, quindi può essere 1 o 13. Nel caso fosse $1$ esisterebbe un unico 3-Sylow $B $ normale in G. Quindi $G≅T×S ⇒ G$ è abeliano e prodotto di ciclici quindi è ciclico.
Il mio problema é: se $G = Z_39$ io so giá che é ciclico, ma non so come devo trovare
il $13-Sylow$ cioé il sottogruppo di ordine $13$ che risulta essere normale e il $3-Sylow$ cioé il
sottogruppo di ordine $3$ che risulta anch'esso essere normale.
Grazie in anticipo,
Ebbene, se io ho un gruppo $G$ di ordine $39$ in base ai teoremi di Sylow
essendo $39 = 3*13$ io trovo che
$13-Sylow$ è congruo a $1 mod 13$ e divide $3$, quindi c'è un unico $13$-sottogruppo di Sylow, $A$ che è normale in $G$.
Mentre il numero dei $3-Sylow$ è congruo a$ 1 mod 3$ e divide $13$, quindi può essere 1 o 13. Nel caso fosse $1$ esisterebbe un unico 3-Sylow $B $ normale in G. Quindi $G≅T×S ⇒ G$ è abeliano e prodotto di ciclici quindi è ciclico.
Il mio problema é: se $G = Z_39$ io so giá che é ciclico, ma non so come devo trovare
il $13-Sylow$ cioé il sottogruppo di ordine $13$ che risulta essere normale e il $3-Sylow$ cioé il
sottogruppo di ordine $3$ che risulta anch'esso essere normale.
Grazie in anticipo,
Risposte
Se qualcuno mi da una mano, mi farebbe un gran piacere.
Comunque trazie
Comunque trazie
Attenzione che il prodotto diretto di ciclici è ciclico se e solo se gli ordini sono coprimi, in questo caso si.
In pratica vuoi determinare esplicitamente i due sottogruppi?
Basta cercare un elemento di ordine 13 (la classe di 3 va bene) e uno di ordine 3 (la classe di 13 va bene) in $Z_{39}$, e considerare i sottogruppi (ciclici e unici) generati da loro, che poi sono proprio i gruppi che danno luogo al prodotto diretto.
In pratica vuoi determinare esplicitamente i due sottogruppi?
Basta cercare un elemento di ordine 13 (la classe di 3 va bene) e uno di ordine 3 (la classe di 13 va bene) in $Z_{39}$, e considerare i sottogruppi (ciclici e unici) generati da loro, che poi sono proprio i gruppi che danno luogo al prodotto diretto.
E da molto tempo che non tratto algebra, quindi sono molto arrugginito, ma non capisco quale è la tua difficoltà, il ragionamento che hai proposto mi sembra corretto,$Z_(39)$, è ciclico e risulta $Z_(39)=Z_(13)×Z_(3)$ , dove $Z_(13)$ generato da $[3]$ è il gruppo ciclico di ordine $13$, ed $Z_(3)$ è l'altro gruppo ciclico generato da$[13]$ di ordine $3$, essi sono ovviamente unici. Questo nel caso che nel caso $3- sylow$ risulti unico.
Nel caso che i $3- sylow$ sono in numero di $13$ allora nessuno dei $3-sylow$ potrà essere normale in quanto $G$ risulterebbe ciclico e quindi avrebbe un unico $3- sylow$ in contrasto con Sylow.
In tal caso si otterrà un unico gruppo non abeliano, che risulterà prodotto semidiretto tra l'unico $13-sylow$ ed uno qualsiasi dei $3-sylow$.
Più in generale si ha che se $o(G)=pq$ e $p$, $q$, primi distinti con $p
1) Se $p$ non divide $q-1$, allora $G$ è ciclico.
2) Se $p$ divide $q-1$, allora esiste un solo gruppo non abeliano di ordine $pq$;
Questo problema è tratto dall'Herstein e se non ricordo male ne ho proposto una soluzione proprio su questo forum , prova a cercare.
Nel caso che i $3- sylow$ sono in numero di $13$ allora nessuno dei $3-sylow$ potrà essere normale in quanto $G$ risulterebbe ciclico e quindi avrebbe un unico $3- sylow$ in contrasto con Sylow.
In tal caso si otterrà un unico gruppo non abeliano, che risulterà prodotto semidiretto tra l'unico $13-sylow$ ed uno qualsiasi dei $3-sylow$.
Più in generale si ha che se $o(G)=pq$ e $p$, $q$, primi distinti con $p
1) Se $p$ non divide $q-1$, allora $G$ è ciclico.
2) Se $p$ divide $q-1$, allora esiste un solo gruppo non abeliano di ordine $pq$;
Questo problema è tratto dall'Herstein e se non ricordo male ne ho proposto una soluzione proprio su questo forum , prova a cercare.
Grazie intanto per l'aiuto....vado a piccoli passi per non avere dubbi.
Nel mio caso ho considerato $Z_39$ che so giá che é ciclico. Poi tu dici:
più in generale si ha che se $o(G)=pq$ e p, q, primi distinti con p
1) Se p non divide $q−1$, allora G è ciclico.
2) Se p divide $q−1$, allora esiste un solo gruppo non abeliano di ordine $pq$;
Nel punto $2$ (perché si dice che non é abeliano)? Se io considero $Z_39$ essendo $39= 3 *13$, se $p=3$ é $q=13$ allora $p | q-1$
cioé $3 | 13-1$
Sicuramente sto facendo confusione.
Nel mio caso ho considerato $Z_39$ che so giá che é ciclico. Poi tu dici:
più in generale si ha che se $o(G)=pq$ e p, q, primi distinti con p
1) Se p non divide $q−1$, allora G è ciclico.
2) Se p divide $q−1$, allora esiste un solo gruppo non abeliano di ordine $pq$;
Nel punto $2$ (perché si dice che non é abeliano)? Se io considero $Z_39$ essendo $39= 3 *13$, se $p=3$ é $q=13$ allora $p | q-1$
cioé $3 | 13-1$
Sicuramente sto facendo confusione.
Non stai facendo confusione, nel punto 2) possiamo avere due casi, uno in cui si ha un unico $q-sylow$ ed in questo caso il gruppo $G$ risulta ciclico e quindi abeliano, nell' altro caso che si può verificare avremo $q-sylow$ distinti in numero di $p$, e nessuno di questi sottogruppi può risultare normale in quanto si ricadrebbe nel caso precedente e il gruppo risulterebbe ciclico , prodotto diretto di due unici sottogruppi di ordine rispettivamente $p$ e $q$, in contraddizione col fatto che esistano esattamente $q-sylow$ in numero di $p$, nel tuo problema in numero di $13$, in tal caso si dimostra che l' unico gruppo che può esistere è un gruppo non abeliano che risulti prodotto semidiretto tra il$p-sylow$ che risulta unico in ogni caso ed uno qualsiasi dei $q-sylow$.
In base al punto $2$ quindi
se $G$ fosse stato diverso da $Z_39$, cioé non abeliano e non ciclico, ( in tal caso si dimostra che l' unico gruppo che può esistere è un gruppo non abeliano che risulti prodotto semidiretto tra il $p−sylow$ che risulta unico in ogni caso ed uno qualsiasi dei$ q−sylow)$ io avrei avuto, essendo il $phi(3)=2$ un gruppo non abeliano con $2*13=26$ elementi di ordine $3$ e $phi(13)=12$ elementi di ordine $13$ ai quali si aggiunge l'identitá (arrivo cosí ai$ 39$ elementi di $Z_39)$
Dico bene?
se $G$ fosse stato diverso da $Z_39$, cioé non abeliano e non ciclico, ( in tal caso si dimostra che l' unico gruppo che può esistere è un gruppo non abeliano che risulti prodotto semidiretto tra il $p−sylow$ che risulta unico in ogni caso ed uno qualsiasi dei$ q−sylow)$ io avrei avuto, essendo il $phi(3)=2$ un gruppo non abeliano con $2*13=26$ elementi di ordine $3$ e $phi(13)=12$ elementi di ordine $13$ ai quali si aggiunge l'identitá (arrivo cosí ai$ 39$ elementi di $Z_39)$
Dico bene?
Qualcuno, sempre cortesemente, puó controllare se quello che ho detto é giusto.
Grazie
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