Teorema Di Ruffini

[Domodossola1]

Salve a tutti, nelle dispense della mia professoressa non riesco a capire una cosa e speravo voi potesse darmi una mano.
Il teorema di Ruffini dice: Se \(\displaystyle f \) è un polinomio, \(\displaystyle z \)un numero e \(\displaystyle g(x)=(x-z) \) allora il resto \(\displaystyle r(x)=f(z) \).

Dimostrazione: Esistono \(\displaystyle q \) ed \(\displaystyle r \)tali che \(\displaystyle f(x)=q(x)(x-z)+r(x) \), con \(\displaystyle r< \)grado di \(\displaystyle (x-1)=1 \), questo implica che \(\displaystyle r \)è un polinomio di grado \(\displaystyle 0 \)e quindi è costante (dunque \(\displaystyle r(x)=r(z) \forall x \)). Calcolando \(\displaystyle f \)in \(\displaystyle z \)si ottiene \(\displaystyle f(z)= q(z)(z-z)+r(z)=r(z) \).

Il mio dubbio è il seguente: siamo riusciti a capire che \(\displaystyle r(x)=r(z) \forall x \) dal semplice fatto che \(\displaystyle r \)è costante e quindi \(\displaystyle r(x) \) sarebbe anche uguale ad \(\displaystyle r(y) \) o \(\displaystyle r(v) \) o \(\displaystyle r(w) \) ecc?

Scusate il disturbo

[xdom="Martino"]Spostato in Algebra.[/xdom]

[Pappappero1]

Basta dire chi sono y,v,w. La $x$ che tu usi è una indeterminata e scrivere $f(x)$ non vuol dire scrivere il valore del polinomio in $x$. Quando invece scrivi $f(z)$, intendi proprio il valore del polinomio in $z$, risultato del morfismo di valutazione: in questo caso $z$ e $f(z)$ sono proprio numeri, elementi dell'anello su cui stai costruendo i polinomi.

La stessa cosa vale per $r$, che è un polinomio nell'indeterminata $x$ (di grado 0) ma è anche un elemento costante dell'anello. Quindi se $y,v,w$ sono elementi dell'anello, ha senso scrivere $r(y)$ $r(v)$ e $r(w)$, e con questa scrittura si intende sempre il valore $r$, visto che è costante.