Teorema di omomorfismo per insiemi.
Salve, ho un problema con questo teorema che non riesco (in parte a dimostrare) e di conseguenza (in parte) a capire. L'enunciato è il seguente:
Sia [tex]f : A \rightarrow B[/tex] un'applicazione qualsiasi. Esiste allora un insieme [tex]C[/tex] e due applicazioni [tex]f_s: A \rightarrow C[/tex] (surgettiva) ed [tex]f_i: C \rightarrow B[/tex](iniettiva) tali che [tex]f_i \circ f_s = f[/tex].
Inoltre se esiste un insieme [tex]D[/tex]tale che esistono altre 2 applicazioni [tex]\overline{f_s} : A \rightarrow D[/tex] e[tex]\overline{f_i} : D \rightarrow B[/tex] rispettivamente surgettiva e iniettiva e tali che [tex]\overline{f_s} \circ \overline{f_s} = f[/tex] allora esiste un'unica applicazione [tex]\epsilon : D\rightarrow C[/tex] tale che [tex]f_s = \epsilon \circ \overline{f_s}[/tex] e [tex]\overline{f_s}= f_i \circ \epsilon[/tex].
Infine l'applicazione [tex]\epsilon[/tex] è bigettiva.
Non riesco proprio a dimostrare la seconda parte del teorema che poi penso sia alla base dei teoremi sugli omomorfismi di algebre e pertanto non riesco ad andare avanti.
Grazie a chi mi aiuterà.
Sia [tex]f : A \rightarrow B[/tex] un'applicazione qualsiasi. Esiste allora un insieme [tex]C[/tex] e due applicazioni [tex]f_s: A \rightarrow C[/tex] (surgettiva) ed [tex]f_i: C \rightarrow B[/tex](iniettiva) tali che [tex]f_i \circ f_s = f[/tex].
Inoltre se esiste un insieme [tex]D[/tex]tale che esistono altre 2 applicazioni [tex]\overline{f_s} : A \rightarrow D[/tex] e[tex]\overline{f_i} : D \rightarrow B[/tex] rispettivamente surgettiva e iniettiva e tali che [tex]\overline{f_s} \circ \overline{f_s} = f[/tex] allora esiste un'unica applicazione [tex]\epsilon : D\rightarrow C[/tex] tale che [tex]f_s = \epsilon \circ \overline{f_s}[/tex] e [tex]\overline{f_s}= f_i \circ \epsilon[/tex].
Infine l'applicazione [tex]\epsilon[/tex] è bigettiva.
Non riesco proprio a dimostrare la seconda parte del teorema che poi penso sia alla base dei teoremi sugli omomorfismi di algebre e pertanto non riesco ad andare avanti.
Grazie a chi mi aiuterà.
Risposte
Per prima cosa non è affatto alla base dei teoremi sulle algebre. Anzi forse i casi delle algebre sono più facili perché si lavora direttamente con gli oggetti dei due insiemi. In termini generali sono tutti e due casi particolari di uno stesso teorema sulle categorie (ma questo per te per ora non significa nulla e quindi ignoralo).
Comunque partiamo da [tex]f_i[/tex]. E' evidente che [tex]f_i[/tex] è una funzione bigettiva da [tex]C[/tex] ad [tex]f(A)[/tex] (con abuso di notazione lo segno nello stesso modo anche se il codominio è stato ristretto). Mentre [tex]\overline{f}_i[/tex] è una biiezione tra [tex]D[/tex] e [tex]f(A)[/tex]. Definiamo quindi [tex]\epsilon = f_i^{-1}\circ \overline{f}_i[/tex] ed essendo la composizione di funzioni biiettive è una funzione bigettiva. Ovviamente [tex]f_i \circ \epsilon = f_i \circ f_i^{-1} \circ \overline{f}_i = \overline{f}_i[/tex]. Inoltre [tex]\epsilon \circ \overline{f}_s = f_i^{-1} \circ f = f_s[/tex]. Questo conclude l'esistenza.
Per l'unicità supponiamo esista una funzione [tex]\overline{\epsilon}[/tex] con le caratteristiche cercate. Allora [tex]f_i \circ \overline{\epsilon} = \overline{f}_i[/tex] quindi applicando [tex]f_i^{-1}[/tex] da entrambi i lati ricavo [tex]f_i^{-1} \circ f_i \circ \overline{\epsilon} = f_i^{-1} \circ \overline{f}_i\ \rightarrow\ \overline{\epsilon} = \epsilon[/tex]. E con questo abbiamo dimostrato anche l'unicità.
Comunque partiamo da [tex]f_i[/tex]. E' evidente che [tex]f_i[/tex] è una funzione bigettiva da [tex]C[/tex] ad [tex]f(A)[/tex] (con abuso di notazione lo segno nello stesso modo anche se il codominio è stato ristretto). Mentre [tex]\overline{f}_i[/tex] è una biiezione tra [tex]D[/tex] e [tex]f(A)[/tex]. Definiamo quindi [tex]\epsilon = f_i^{-1}\circ \overline{f}_i[/tex] ed essendo la composizione di funzioni biiettive è una funzione bigettiva. Ovviamente [tex]f_i \circ \epsilon = f_i \circ f_i^{-1} \circ \overline{f}_i = \overline{f}_i[/tex]. Inoltre [tex]\epsilon \circ \overline{f}_s = f_i^{-1} \circ f = f_s[/tex]. Questo conclude l'esistenza.
Per l'unicità supponiamo esista una funzione [tex]\overline{\epsilon}[/tex] con le caratteristiche cercate. Allora [tex]f_i \circ \overline{\epsilon} = \overline{f}_i[/tex] quindi applicando [tex]f_i^{-1}[/tex] da entrambi i lati ricavo [tex]f_i^{-1} \circ f_i \circ \overline{\epsilon} = f_i^{-1} \circ \overline{f}_i\ \rightarrow\ \overline{\epsilon} = \epsilon[/tex]. E con questo abbiamo dimostrato anche l'unicità.
Grazie della risposta ma c'è ancora una cosa che non ho capito. Come posso concludere che anche [tex]\overline{f_i}[/tex] è bigettiva?
ma c'è ancora una cosa che non ho capito. Come posso concludere che anche [tex]\overline{f_i}[/tex] è bigettiva?
"aleio2":
Grazie della risposta
Data una funzione iniettiva è sempre possibile restringere il codominio in modo da renderla anche suriettiva.
Grazie mille!
Riesumo questo post per quelli che stanno studiando sull'Algebra di Di Martino e,
come me, non capiscono come mai a pagina 14 nella dimostrazione del Teorema 1.36 di omomorfismo tra insiemi
valga l'uguaglianza \(\displaystyle \overline{f}_i \circ \overline{f}_s = f\).
La risposta, da quello che ho capito, e' che e' un'ipotesi che va aggiunta al teorema che diventa:
\(\displaystyle \dots \) Inoltre dati un insieme \(\displaystyle D \), \(\displaystyle \overline{f}_s : A \rightarrow D \) surgettiva e
\(\displaystyle \overline{f}_i : D \rightarrow B \) iniettiva, con \(\displaystyle f = \overline{f}_i \circ \overline{f}_s \), \(\displaystyle \dots \)
Gia' che ci sono, sempre nella stessa dimostrazione del libro, l'unicita', per essere piu' precisi, segue dall'esercizio 1.29 (1), il cui testo va corretto: \(\displaystyle f \) non deve essere iniettiva ma surgettiva.
come me, non capiscono come mai a pagina 14 nella dimostrazione del Teorema 1.36 di omomorfismo tra insiemi
valga l'uguaglianza \(\displaystyle \overline{f}_i \circ \overline{f}_s = f\).
La risposta, da quello che ho capito, e' che e' un'ipotesi che va aggiunta al teorema che diventa:
\(\displaystyle \dots \) Inoltre dati un insieme \(\displaystyle D \), \(\displaystyle \overline{f}_s : A \rightarrow D \) surgettiva e
\(\displaystyle \overline{f}_i : D \rightarrow B \) iniettiva, con \(\displaystyle f = \overline{f}_i \circ \overline{f}_s \), \(\displaystyle \dots \)
Gia' che ci sono, sempre nella stessa dimostrazione del libro, l'unicita', per essere piu' precisi, segue dall'esercizio 1.29 (1), il cui testo va corretto: \(\displaystyle f \) non deve essere iniettiva ma surgettiva.
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