Teorema di omomorfismo
Ciao a tutti.
Nelle mie dispense trovo scritto che: "Siano $(G, *)$ e $(K,#)$ due gruppi con elementi neutri rispettivamente $u$ ed $e$; sia poi f un omomorfismo da G a K. Si ha allora che due elementi di G hanno la stessa immagine in f se e solo se appartengono alla stessa classe laterale modulo il nucleo". Ecco non riesco a capire cosa significa "appartengono alla stessa classe laterale modulo il nucleo". C'è qualcuno che può spiegarmelo?
Grazie.
Nelle mie dispense trovo scritto che: "Siano $(G, *)$ e $(K,#)$ due gruppi con elementi neutri rispettivamente $u$ ed $e$; sia poi f un omomorfismo da G a K. Si ha allora che due elementi di G hanno la stessa immagine in f se e solo se appartengono alla stessa classe laterale modulo il nucleo". Ecco non riesco a capire cosa significa "appartengono alla stessa classe laterale modulo il nucleo". C'è qualcuno che può spiegarmelo?
Grazie.
Risposte
Ciao!
Se hai un omomorfismo di gruppi $f:(G,*) to (K,#) $ e $x,y in G$ hanno la stessa immagine tramite f allora
$f(x)=f(y)$
Ora, moltiplicando per l'inverso di $f(y)$ ottieni
$f(x) # f(y)^{-1}=f(y) # f(y)^{-1} = e$
ovvero, dato che f è omomorfismo,
$f(x * y^{-1})=e$
In altre parole, per definizione,
$x * y^{-1} in ker(f)$
e questo significa esattamente (sempre per definizione) che x e y sono "congrui modulo il nucleo", o ancora che "appartengono alla stessa classe laterale modulo il nucleo". Significa che (vedi nota)
(*) $x * ker(f) = y * ker(f)$
(dove se $w in G$, per definizione $w * ker(f) = {w * k,\ k in ker(f)}$).
$x * ker(f)$ è per definizione la classe laterale di x modulo il sottogruppo ker(f) di G, e analogamente per y. Quindi se $f(x)=f(y)$ allora x e y hanno la stessa classe laterale modulo il nucleo (vedi l'uguaglianza (*)).
Nota inoltre che
$z * ker(f) = ker(f) * z$ (dove $ker(f) * z = {k * z,\ k in ker(f)}$)
per ogni $z in G$, essendo $ker(f)$ un sottogruppo normale di G (il nucleo di un omomorfismo è sempre un sottogruppo normale). Infatti:
$z * ker(f) = z * ker(f) * z^{-1} * z = ker(f) * z$.
Ne segue che non serve distinguere tra classi laterali destre e sinistre.
Nota: ho omesso di dimostrare che $x * y^{-1} in ker(f)$ se e solo se $x * ker(f) = y * ker(f)$; quindi lo faccio ora:
Necessità. Supponiamo $x * y^{-1} in ker(f)$. Allora $x * y^{-1}=k$ per qualche $k in ker(f)$, ovvero $x=k * y$, e quindi $x * ker(f) = k * y * ker(f) = k * ker(f) * y = ker(f) * y$ perché ker(f) è normale e se $k in ker(f)$ allora $k * ker(f) = ker(f)$, infatti (basta mostrare $supseteq$) se hai $p in ker(f)$ allora $p=k * k^{-1} * p in k * ker(f)$ dato che $k^{-1} * p in ker(f)$ (infatti $f(k^{-1} * p)=f(k^{-1}) # f(p) = e # e = e$).
Sufficienza. Supponiamo $x * ker(f) = y * ker(f)$. Poiché $u in ker(f)$, in particolare $x=x*u in y*ker(f)$, ovvero esiste $k in ker(f)$ tale che $x=y*k$. In altre parole $x * y^{-1}=k$, e quindi $x * y^{-1} in ker(f)$ (perché $k in ker(f)$).
Se hai un omomorfismo di gruppi $f:(G,*) to (K,#) $ e $x,y in G$ hanno la stessa immagine tramite f allora
$f(x)=f(y)$
Ora, moltiplicando per l'inverso di $f(y)$ ottieni
$f(x) # f(y)^{-1}=f(y) # f(y)^{-1} = e$
ovvero, dato che f è omomorfismo,
$f(x * y^{-1})=e$
In altre parole, per definizione,
$x * y^{-1} in ker(f)$
e questo significa esattamente (sempre per definizione) che x e y sono "congrui modulo il nucleo", o ancora che "appartengono alla stessa classe laterale modulo il nucleo". Significa che (vedi nota)
(*) $x * ker(f) = y * ker(f)$
(dove se $w in G$, per definizione $w * ker(f) = {w * k,\ k in ker(f)}$).
$x * ker(f)$ è per definizione la classe laterale di x modulo il sottogruppo ker(f) di G, e analogamente per y. Quindi se $f(x)=f(y)$ allora x e y hanno la stessa classe laterale modulo il nucleo (vedi l'uguaglianza (*)).
Nota inoltre che
$z * ker(f) = ker(f) * z$ (dove $ker(f) * z = {k * z,\ k in ker(f)}$)
per ogni $z in G$, essendo $ker(f)$ un sottogruppo normale di G (il nucleo di un omomorfismo è sempre un sottogruppo normale). Infatti:
$z * ker(f) = z * ker(f) * z^{-1} * z = ker(f) * z$.
Ne segue che non serve distinguere tra classi laterali destre e sinistre.
Nota: ho omesso di dimostrare che $x * y^{-1} in ker(f)$ se e solo se $x * ker(f) = y * ker(f)$; quindi lo faccio ora:
Necessità. Supponiamo $x * y^{-1} in ker(f)$. Allora $x * y^{-1}=k$ per qualche $k in ker(f)$, ovvero $x=k * y$, e quindi $x * ker(f) = k * y * ker(f) = k * ker(f) * y = ker(f) * y$ perché ker(f) è normale e se $k in ker(f)$ allora $k * ker(f) = ker(f)$, infatti (basta mostrare $supseteq$) se hai $p in ker(f)$ allora $p=k * k^{-1} * p in k * ker(f)$ dato che $k^{-1} * p in ker(f)$ (infatti $f(k^{-1} * p)=f(k^{-1}) # f(p) = e # e = e$).
Sufficienza. Supponiamo $x * ker(f) = y * ker(f)$. Poiché $u in ker(f)$, in particolare $x=x*u in y*ker(f)$, ovvero esiste $k in ker(f)$ tale che $x=y*k$. In altre parole $x * y^{-1}=k$, e quindi $x * y^{-1} in ker(f)$ (perché $k in ker(f)$).
Ok, grazie ho le idee un po' più chiare però mi servirebbe vedere un esempio pratico, per vedere proprio come è fatta $x*ker(f)$. Grazie.
Considera allora l'omomorfismo di gruppi additivi
$f:RR^2 to RR$, $(x,y) to x-y$.
Il nucleo di f è $ker(f)=\{(x,y) \in RR^2\ |\ x-y=0\}$, ovvero, se vedi $RR^2$ come il piano cartesiano, si tratta della bisettrice di primo e terzo quadrante.
Ciò significa che tutti e soli i punti della bisettrice sono inviati in zero tramite f.
Ora, prendiamo per esempio $(1,0) \in RR^2$, e domandiamoci cosa sia la classe laterale di (1,0) modulo ker(f). Si tratta di (1,0)+ker(f), ed è facile vedere che questa è la controimmagine dell'immagine di f, ovvero la fibra di $f(1,0)=1$. Ma cos'è (1,0)+ker(f) ? Non è altro che la bisettrice traslata del vettore (1,0), cioè traslata a destra di 1, o, equivalentemente, in giù di 1 (questo 'equivalentemente' è la traduzione del fatto che (1,0) e (0,-1) hanno la stessa immagine tramite f). In altre parole si tratta della 'retta' di equazione $x-y-1=0$.
Quindi la classe laterale di (1,0) modulo ker(f) è la retta parallela alla bisettrice passante per (1,0).
Ciò suggerisce immediatamente di rendersi conto che le fibre di f non sono altro che le rette parallele alla bisettrice (cioè ogni elemento del codominio $RR$ corrisponde ad una tale retta, controimmagine di tale elemento tramite f).
Ciò significa che due punti di $RR^2$ hanno la stessa immagine tramite f se e solo se stanno su una stessa retta parallela alla bisettrice.
$f:RR^2 to RR$, $(x,y) to x-y$.
Il nucleo di f è $ker(f)=\{(x,y) \in RR^2\ |\ x-y=0\}$, ovvero, se vedi $RR^2$ come il piano cartesiano, si tratta della bisettrice di primo e terzo quadrante.
Ciò significa che tutti e soli i punti della bisettrice sono inviati in zero tramite f.
Ora, prendiamo per esempio $(1,0) \in RR^2$, e domandiamoci cosa sia la classe laterale di (1,0) modulo ker(f). Si tratta di (1,0)+ker(f), ed è facile vedere che questa è la controimmagine dell'immagine di f, ovvero la fibra di $f(1,0)=1$. Ma cos'è (1,0)+ker(f) ? Non è altro che la bisettrice traslata del vettore (1,0), cioè traslata a destra di 1, o, equivalentemente, in giù di 1 (questo 'equivalentemente' è la traduzione del fatto che (1,0) e (0,-1) hanno la stessa immagine tramite f). In altre parole si tratta della 'retta' di equazione $x-y-1=0$.
Quindi la classe laterale di (1,0) modulo ker(f) è la retta parallela alla bisettrice passante per (1,0).
Ciò suggerisce immediatamente di rendersi conto che le fibre di f non sono altro che le rette parallele alla bisettrice (cioè ogni elemento del codominio $RR$ corrisponde ad una tale retta, controimmagine di tale elemento tramite f).
Ciò significa che due punti di $RR^2$ hanno la stessa immagine tramite f se e solo se stanno su una stessa retta parallela alla bisettrice.
Scusa ma la geometria del piano non mi viene spiegata in questo corso. Infatti non so cosa sia una fibra e altri termini che tu usi qui. Potresti fare un esempio con gruppi tipo $(U_m,*)$ o $(ZZ,+)$ o qualcosa di simile? Grazie.
Fibra significa controimmagine. Non hai mai fatto il piano cartesiano, nemmeno alle superiori? Ti assicuro che è il metodo più veloce per capire.
Comunque le classi laterali di un sottogruppo sono semplicemente i suoi 'traslati'. Per esempio se consideri (Z,+) e il sottogruppo 2Z, la classe laterale di 1 modulo 2Z è semplicemente il traslato 1+2Z, ovvero l'insieme degli interi dispari. Ci sono solo due classi laterali modulo 2Z, e sono gli interi dispari (1+2Z) e gli interi pari (0+2Z=2Z), e cio' significa esattamente che due interi hanno la stessa parità (ovvero sono entrambi dispari o entrambi pari) se e solo se stanno nella stessa classe laterale modulo il sottogruppo 2Z di Z.
Comunque le classi laterali di un sottogruppo sono semplicemente i suoi 'traslati'. Per esempio se consideri (Z,+) e il sottogruppo 2Z, la classe laterale di 1 modulo 2Z è semplicemente il traslato 1+2Z, ovvero l'insieme degli interi dispari. Ci sono solo due classi laterali modulo 2Z, e sono gli interi dispari (1+2Z) e gli interi pari (0+2Z=2Z), e cio' significa esattamente che due interi hanno la stessa parità (ovvero sono entrambi dispari o entrambi pari) se e solo se stanno nella stessa classe laterale modulo il sottogruppo 2Z di Z.
Il piano cartesiano alle superiori l'ho fatto ma non ho buona memoria 
Comunque ho capito ora quello che dici tu. Però non riesco a capire ad esempio questo esercizio fatto in classe con la prof. Ci ha dato il gruppo $U_16$ che ha 8 elementi. Dovevamo cercare un isomorfismo. Abbiamo cercato tutti i sottogruppi per ogni elemento di $U_16$ e il loro ordine. Dopodiché abbiamo cominciato a fare il quoziente di $U_16/()$, cioè a cercare le classi laterali e poi anche $U_16/()$ (non abbiamo fatto tutti i quozienti anche se mi sembra che la prof ha detto che andrebbero fatti tutti). A un certo punto abbiamo trovato che $U_16/()$ era isomorfo a $$. Ho capito il perché però non ho capito che cosa c'entri $U_16/()$ isomorfo a $$ con $G/(Kerf)$ isomorfo a $Imf$. Cioè $$ è il Kerf e $$ è l'immagine? E chi me lo dice che sono per forza quei due?
Spero di essere stato chiaro.
Comunque ho capito ora quello che dici tu. Però non riesco a capire ad esempio questo esercizio fatto in classe con la prof. Ci ha dato il gruppo $U_16$ che ha 8 elementi. Dovevamo cercare un isomorfismo. Abbiamo cercato tutti i sottogruppi per ogni elemento di $U_16$ e il loro ordine. Dopodiché abbiamo cominciato a fare il quoziente di $U_16/(
Spero di essere stato chiaro.
Parli di f ma non hai definito f.
Il fatto è questo: puoi mostrare che U16/(classe7) è isomorfo a (classe3) usando il teorema di omomorfismo solo se riesci a definire un omomorfismo (che chiamerai f) da U16 a (classe3) suriettivo il cui nucleo (ker) sia proprio (classe7).
Per fare questo puoi osservare innanzitutto che (classe3) è un gruppo ciclico di ordine 4, (classe7) è un gruppo ciclico di ordine 2, e che U16 è un prodotto diretto di due gruppi ciclici, uno di ordine 4 e uno di ordine 2. Questo già basterebbe.
Puoi osservare che U16 è isomorfo al prodotto diretto di (classe3) e (classe7), in quanto U16 è un gruppo abeliano e (classe3) e (classe7) sono sottogruppi (quindi normali), il loro prodotto insiemistico è U16 e la loro intersezione è 1 (sto applicando un noto risultato sui prodotti diretti che immagino tu conosca). In altre parole ogni elemento di U16 si scrive in modo unico (a meno dell'ordine) come $a * b$, dove a è un elemento di (classe3) e b è un elemento di (classe7). Allora definisci
$f:U16 to Classe3$, $a*b to a$
Questo omomorfismo ha (classe7) come nucleo e (classe3) come immagine. Quindi U16/(classe7) = U16/ker(f) è isomorfo a (classe3).
Il fatto è questo: puoi mostrare che U16/(classe7) è isomorfo a (classe3) usando il teorema di omomorfismo solo se riesci a definire un omomorfismo (che chiamerai f) da U16 a (classe3) suriettivo il cui nucleo (ker) sia proprio (classe7).
Per fare questo puoi osservare innanzitutto che (classe3) è un gruppo ciclico di ordine 4, (classe7) è un gruppo ciclico di ordine 2, e che U16 è un prodotto diretto di due gruppi ciclici, uno di ordine 4 e uno di ordine 2. Questo già basterebbe.
Puoi osservare che U16 è isomorfo al prodotto diretto di (classe3) e (classe7), in quanto U16 è un gruppo abeliano e (classe3) e (classe7) sono sottogruppi (quindi normali), il loro prodotto insiemistico è U16 e la loro intersezione è 1 (sto applicando un noto risultato sui prodotti diretti che immagino tu conosca). In altre parole ogni elemento di U16 si scrive in modo unico (a meno dell'ordine) come $a * b$, dove a è un elemento di (classe3) e b è un elemento di (classe7). Allora definisci
$f:U16 to Classe3$, $a*b to a$
Questo omomorfismo ha (classe7) come nucleo e (classe3) come immagine. Quindi U16/(classe7) = U16/ker(f) è isomorfo a (classe3).
Ah ecco ora ho capito. Grazie.
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