Teorema di Maschke

[Galoisfan]

Salve a tutti, sto studiando teoria della rappresentazione dei gruppi e avevo un dubbio riguardo la dimostrazione del teorema di Maschke. Consideriamo ad esempio la dimostrazione presente nel seguente link (le dimostrazioni che ho trovato hanno tutte la stessa idea):
http://planetmath.org/encyclopedia/MaschkesTheorem.html
Il problema sta nelle definizione della funzione $\pi'$ poiche' non ho capito il motivo per cui in uno spazio vettoriale $V$ su un campo generico $F$ possiamo moltiplicare un vettore per $frac{1}{|G|}$, chi ci dice infatti che $frac{1}{|G|}$ appartenga ad $F$ ?

grazie in anticipo per la risposta

[apatriarca]

Dato un anello, esiste sempre un omomorfismo da \(\mathbb Z\) nell'anello dato da \( n \mapsto n \, 1 \) il cui nucleo è formato dai multipli della caratteristica dell'anello. Siccome sai che la caratteristica del campo non divide \( |G| \) e che ogni elemento non nullo in un campo è invertibile, allora l'immagine di \( |G| \) attraverso l'omomorfismo di cui sopra (che se non ricordo male dovrebbe chiamarsi omomorfismo caratteristico ma non ne sono sicuro) è invertibile in \(F\) e quindi \(1/|G| \in F\).

[Galoisfan]

Quindi per $frac{1}{|G|}$ si intende $f(|G|)^{-1}$ dove $f$ e' l'omomorfismo caratteristico?

[apatriarca]

Quando si scrive un numero intero e lo si considera come un elemento di un campo qualsiasi è normalmente quello che si fa.