Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi)

[Marix2]

Che cosa dice il teorema di lagrange? E quando può essere applicato? Ci sono delle condizioni da verificare?

[vict85]

"Marix":Che cosa dice il teorema di lagrange? E quando può essere applicato? Ci sono delle condizioni da verificare?

Il teorema di Lagrange dice che l'ordine di ogni sottogruppo divide l'ordine del gruppo. In particolare si ha che $|G|=|H|*[G : H]$ cioè l'ordine del gruppo è uguale al prodotto dell'ordine del sottogruppo per il suo indice.
Ovviamente il prodotto ha senso soprattutto quando l'ordine del gruppo è finito perché in quel caso le moltiplicazioni mantengono il loro senso comune in $ZZ$.

Ma esattamente cosa non hai capito di questo teorema?

Per le altre domande vale per qualsiasi gruppo e sottogruppo e non ci sono condizioni in più. Comunque quando il gruppo ha cardinalità infinita il concetto di divisibilità viene meno (anche se il teorema mantiene una sua utilità).

[Marix2]

Praticamente un esercizio mi chiede di calcolare $bar 2^300$ in $ZZ_6$. E mi chiede se si può usare il teorema di lagrange.

[NightKnight1]

Non so come applicare Lagrange a questo esercizio; comunque lo sai risolvere senza Lagrange?

[vict85]

"Marix":Praticamente un esercizio mi chiede di calcolare $bar 2^300$ in $ZZ_6$. E mi chiede se si può usare il teorema di lagrange.

Nel caso di $bar 2^300$ l'elevamento non è l'operazione di gruppo (ma la moltiplicazione dell'anello) quindi non ha senso usare Lagrange. Anche se Lagrange ovviamente vale: l'ordine di quell'elemento è sicuramente un divisore di $6$...

Tieni comunque presente che $bar 2 \notin ZZ_6^x$, cioè $bar 2$ non è un elemento invertibile di $ZZ_6$ quindi devi comportarti di conseguenza. Inoltre sai che $6$ non divide mai $2^n$ e ogni multiplo di $6$ è pari e quindi anche il resto lo è. Se ne deduce che $bar 2^300$ è uguale a $bar 2$ o $bar 4$. In particolare si nota facilmente che $bar 2^n$ è uguale a $bar 2$ se $n$ è dispari e a $bar 4$ se $n$ è pari.