Teorema di Hartogs e parti totalmente ordinate
Si deve dimostrare che dati due insiemi S e T non vuoti esiste un'applicazione iniettiva di S in T oppure un'iniettiva di T in S. Per farlo si considera l'insieme di tutte le applicazioni aventi per dominio una parte non vuota di S e per codominio T. In tale insieme si introduce una relazione d'ordine tale che una funzione f è minore o uguale di una funzione g se e solo se il dominio di f è contenuto in quello di g e f è uguale alla restrizione di g al dominio di f. Successivamente si seleziona una parte totalmente ordinata di F. Mi chiedo, come facciamo ad essere certi s ell'esistenza di tale parte totalmente ordinata? Potrei per esempio disporre in F soltanto di funzioni che hanno per dominio il singleton di un elemento di S e qui nessuna di esse sarebbe confrontabile rispetto a quella relazione.
Risposte
Se $S,T$ sono due insiemi non vuoti e chiamo $F(S,T)$ l'insieme delle funzioni parziali \(S\to T\) (chiaramente questo contiene \(\hom_{\bf Set}(S,T)\) come sottoinsieme delle funzioni totali), certamente il sottoinsieme delle funzioni parziali che hanno per dominio un singoletto \(\{s_0\}\subseteq S\) è in generale un sottoinsieme di $F(S,T)$, che diventa un sottoinsieme discreto quando introduci su $F(S,T)$ la relazione d'ordine $f\le g$ sse \(dom(f) \subseteq dom(g)\) e $g|_{dom(f)}=f$.
Altrettanto certamente però ci sono molte altre funzioni in $F(S,T)$, ad esempio quelle che sono definite su insiemi via via crescenti.
Il risultato che citi dovrebbe potersi dimostrare così: esiste almeno una funzione \(S\to T\) (perché il prodotto di insiemi entrambi non vuoti è non vuoto); allora se scegli un elemento qualsiasi di $S$ (che è non vuoto) e lo chiami $s_0$, definisci per induzione transfinita una catena in cui ad ogni passo scegli un elemento \(s_{\kappa+1} \in S \setminus \{s_i\mid i\le \kappa\}\) -o qualcosa di analogo per un passo limite (quello che in effetti stai facendo segretamente è scegliere un buon ordine per $S$, mettendolo in biiezione con un ordinale e inducendo su di lui un ordine totale e buono attraverso una filtrazione \(\{s_0\} \subseteq \{s_0, s_1\}\subseteq\dots\)). Chiaramente questo processo si deve fermare quando hai enumerato tutti gli elementi di $S$. Ora, la successione (possibilmente transfinita) di funzioni \(f|_{S_i}\) è una catena.
Mi aspetto che ora tu debba argomentare come segue: ogni catena in $F(S,T)$ ha un maggiorante, sicché per il lemma di Zorn $F(S,T)$ ha un elemento massimale. Questo elemento massimale è una funzione totale \(S\to T\) e cercherai di preoccuparti che essa sia iniettiva. Ho ragione?
Altrettanto certamente però ci sono molte altre funzioni in $F(S,T)$, ad esempio quelle che sono definite su insiemi via via crescenti.
Il risultato che citi dovrebbe potersi dimostrare così: esiste almeno una funzione \(S\to T\) (perché il prodotto di insiemi entrambi non vuoti è non vuoto); allora se scegli un elemento qualsiasi di $S$ (che è non vuoto) e lo chiami $s_0$, definisci per induzione transfinita una catena in cui ad ogni passo scegli un elemento \(s_{\kappa+1} \in S \setminus \{s_i\mid i\le \kappa\}\) -o qualcosa di analogo per un passo limite (quello che in effetti stai facendo segretamente è scegliere un buon ordine per $S$, mettendolo in biiezione con un ordinale e inducendo su di lui un ordine totale e buono attraverso una filtrazione \(\{s_0\} \subseteq \{s_0, s_1\}\subseteq\dots\)). Chiaramente questo processo si deve fermare quando hai enumerato tutti gli elementi di $S$. Ora, la successione (possibilmente transfinita) di funzioni \(f|_{S_i}\) è una catena.
Mi aspetto che ora tu debba argomentare come segue: ogni catena in $F(S,T)$ ha un maggiorante, sicché per il lemma di Zorn $F(S,T)$ ha un elemento massimale. Questo elemento massimale è una funzione totale \(S\to T\) e cercherai di preoccuparti che essa sia iniettiva. Ho ragione?
Mi mancano alcuni concetti, come l'induzione trasfinita e la filtrazione, ma I got the general idea. Grazie mille 
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