Teorema di Euclide sulla infinitezza dei primi

[FainaGimmi]

Dato il teorema di Euclide sull'infinitezza dei primi, avrei a tal proposito alcune domande:

posto $n = \prod_{i=1}^k (p_i) + 1$, dove $p_i$ sono primi, il teorema dice che anche $n$ è primo. Qui sorgono le mie domande:

1) Ma i primi $p_i$ devono necessariemante essere TUTTI i primi?

2) Dimostrato che $n$ è un primo, come si fa a trovare il successivo, dato che non si conoscono i primi nel mezzo fra $p_k$ e $n$?

3) Chi assicura che $n$ non sia un multiplo di un numero primo maggiore di $p_k$? Il teorema non discute questi punti, o lameno il teorema che ho studiato io non lo fa...

Grazie per l'aiuto!!

[rubik2]

il teorema di euclide è per assurdo e non dice che n è primo, dice che n non è fattorizzabile tramite il tuo insieme di primi e questo va contro il teorema che afferma che ogni numero è fattorizzabile

[FainaGimmi]

quindi afferma che $n$ è fattorizzabile come primo, no?

[rubik2]

i primi sono finiti $\Rightarrow$ esiste un numero n che non ha fattorizzazione in primi, assurdo!

n forse è primo forse no, non credo sia importante

il fatto che n è fattorizzabile sicuramente è un altro teorema

[Sk_Anonymous]

Allora :

1) si devono essere tutti primi , altrimentin non sarebbe una produttoria ..

2 e 3 ) aggiungendo n alla produttoria .. ma non è detto che n sia un primo .

in realtà , si è visto sperimentalmente , che applicando la suddetta formula non si hanno tutti primi ;
quello che è certo che si ha un primo maggiore di tutte le pi considerate .
Infatti , n o è un primo oppure ha un fattore primo maggiore di Pk : che è il massimo dei primi considerati .
Cosi , in ogni caso , si è dimostrato l'infinitezza dei primi .. ma non si è sicuri che n sia primo .

[FainaGimmi]

ok, ho capito, grazie mille a tutti!!