Teorema di divisione in $Z$

[ladepie]

Consideriamo ora solo la dimostrazione dell'unicità del fatto che dati due interi $a$,$b$ (dove $b$ è diverso da $0$) allora esitono un unica coppia di interi t.c. $a=bq+r$.

X assurdo...supponiamo che a si possa scrivere come:

$a=qb+r=q'b+r'$ dove $0<= r <= r' < b$ ... sottraendo membro a membro si ottiene

$b(q-q')=r'-r < |b|$

$r'-r$ sarà positivo e quindi lo sarà anche $b(q-q')$, quindi $b$ e $q-q'$ sono entrambi concordi.

consideriamo
0 <= b(q-q') < |b|

se $b$ e $(q-q')$ sono entrambi positivi, dividendo tutto per b si avrà
$0 <= (q-q') < 1$ ma essendo $q-q' \in Z$ allora non potrà che essere $q-q'=0$ e $q=q'$

invece se $b$ e $(q-q')$ sono entrambi negativi, con gli stessi passaggi si ottiene
$-1 < (q-q') <= 0$ e per lo stesso motivo di prima sarà $q-q'=0$ e $q=q'$.

In ogni caso ne consegue che anche $r=r'$

[j18eos]

Tutto corretto!