Teorema di Corrispondenza
Scherzavo, l'ultima dimostrazione è questa 
Ma oltre alla dimostrazione vorrei capirne gli utilizzi, intanto:
sia $G$ un gruppo e $N$ sottogruppo normale, allora esiste una corrispondenza biunivoca $psi:H->pi(H)$(dove $pi$ è la proiezione canonica) tra i sottogruppi di $G$ contenenti $N$ e i sottogruppi di $G/N$
la sostanza è che per un omomorfismo $h:G->G'$ si ha che se $HleqG$ allora $h(H)leqG'$ contenuto nell'immagine e se $KleqG'$ allora $Ker(h)subset h^(leftarrow)(K)leqG$
la proiezione $pi:G->G/N$ è un omomorfismo di gruppi avente nucleo $N$ pertanto è chiaro che per ogni sottogruppo $K$ di $G/N$ la controimmagine $Nsubset pi^(leftarrow)(K)leqG$
mostriamo che l'applicazione $psi:H->pi(H)$ è biunivoca.
se $KleqG/N$ allora $pi^(leftarrow)(K)leqG$ e considerando che proiezione canonica è suriettiva si ha
$psi(pi^(leftarrow)(K))=pi(pi^(leftarrow)(K))=K$ e quindi è suriettiva.
ora siano $H,K$ sottogruppi di $G$ contenenti $N$ allora se $psi(H)=psi(K)$ deve aversi $pi(H)=pi(K)$
mostriamo che $pi^(leftarrow)(pi(H))=H$
sicuramente $Hsubseteqpi^(leftarrow)(pi(H))$
se $x in pi^(leftarrow)(pi(H)) => pi(x) in pi(H)$ ovvero esiste un $t in H$ tale che $pi(x)=pi(t)$ e quindi $x+N=t+N$ da cui sicuramente $x in t+N => x-t in NsubsetH => x=(x-t)+t in H => x in H$ fine.
quindi la corrispondenza è biunivoca.
Sul dove utilizzare questo teorema ho qualche dubbio.
Ma oltre alla dimostrazione vorrei capirne gli utilizzi, intanto:
sia $G$ un gruppo e $N$ sottogruppo normale, allora esiste una corrispondenza biunivoca $psi:H->pi(H)$(dove $pi$ è la proiezione canonica) tra i sottogruppi di $G$ contenenti $N$ e i sottogruppi di $G/N$
la sostanza è che per un omomorfismo $h:G->G'$ si ha che se $HleqG$ allora $h(H)leqG'$ contenuto nell'immagine e se $KleqG'$ allora $Ker(h)subset h^(leftarrow)(K)leqG$
la proiezione $pi:G->G/N$ è un omomorfismo di gruppi avente nucleo $N$ pertanto è chiaro che per ogni sottogruppo $K$ di $G/N$ la controimmagine $Nsubset pi^(leftarrow)(K)leqG$
mostriamo che l'applicazione $psi:H->pi(H)$ è biunivoca.
se $KleqG/N$ allora $pi^(leftarrow)(K)leqG$ e considerando che proiezione canonica è suriettiva si ha
$psi(pi^(leftarrow)(K))=pi(pi^(leftarrow)(K))=K$ e quindi è suriettiva.
ora siano $H,K$ sottogruppi di $G$ contenenti $N$ allora se $psi(H)=psi(K)$ deve aversi $pi(H)=pi(K)$
mostriamo che $pi^(leftarrow)(pi(H))=H$
sicuramente $Hsubseteqpi^(leftarrow)(pi(H))$
se $x in pi^(leftarrow)(pi(H)) => pi(x) in pi(H)$ ovvero esiste un $t in H$ tale che $pi(x)=pi(t)$ e quindi $x+N=t+N$ da cui sicuramente $x in t+N => x-t in NsubsetH => x=(x-t)+t in H => x in H$ fine.
quindi la corrispondenza è biunivoca.
Sul dove utilizzare questo teorema ho qualche dubbio.
Risposte
Sul dove utilizzare questo teorema ho qualche dubbio.
Tipo "ovunque tu abbia un gruppo e ti interessi stabilire quali sono, o semplicemente contare, i sottogruppi di un suo quoziente"?
Tipo "generalizzando questa cosa ad altre strutture (i gruppi non hanno niente di speciale), e usando questo fatto ovunque in teoria degli anelli, dove gli ideali di \(R/I\) corrispondono biiettivamente agli ideali di $R$ contenenti $I$"?
la dimostrazione è corretta? più che altro il passaggio per dimostrare l'iniettività è solo lì i mio dubbio.
ho fatto anche questa, solo che ho optato per mettere l'altra.
hai degli esercizi o qualche cavolata per farci su due esercizi?
grazie comunque
"killing_buddha":Tipo "generalizzando questa cosa ad altre strutture (i gruppi non hanno niente di speciale), e usando questo fatto ovunque in teoria degli anelli, dove gli ideali di \(R/I\) corrispondono biiettivamente agli ideali di $R$ contenenti $I$"?
ho fatto anche questa, solo che ho optato per mettere l'altra.
hai degli esercizi o qualche cavolata per farci su due esercizi?
grazie comunque
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