Teorema di compattezza, ultrafiltro non principale [Logica]

[salvozungri]

Ciao a tutti

Ho problemi con la dimostrazione del teorema di compattezza, mi auguro che qualcuno possa aiutarmi.
Teorema: Una teoria [tex]T[/tex] ammette un modello se e solo se ogni sua parte finita ha un modello

Traccia di dimostrazione:
L'andata è banale, infatti se T ha un modello allora ogni sua parte finita ha un modello, fin qui tutto tranquillo.

Il ritorno (sa tanto di film horror ):
Supponiamo che la teoria T sia infinita, se non lo fosse il teorema è banalmente vero. Definiamo con [tex]\mathcal{P}_\omega (T):=\left\{X\subseteq T| X\text{ finito }\right\}[/tex]. [tex]\mathcal{P}_\omega (T)[/tex] è quindi la famiglia di tutti i sottoinsiemi finiti di T .
Per alleggerire le notazioni, pongo [tex]R= \mathcal{P}_\omega (T)[/tex]. Per ipotesi abbiamo che [tex]\forall r\in R[/tex] esiste una struttura [tex]\mathcal{A}_r[/tex] tale che [tex]\mathcal{A}_r[/tex] è un modello per [tex]r[/tex], [tex]\mathcal{A}_r\models r[/tex]. L'idea è di costruire una struttura [tex]\mathcal{B}[/tex] per cui [tex]\mathcal{B}\models T[/tex] utilizzando la famiglia [tex]\left\{\mathcal{A}_r\right\}_{r\in R}[/tex]. Costruiremo infatti un ultraprodotto [tex]\mathcal{B}:={\left(\prod_{r\in R} A_r\right)}/F[/tex], dove F è un ultrafiltro non principale di [tex]\mathcal{P}(R)[/tex].

Determino l'ultrafiltro F:
Per ogni enunciato [tex]\varphi \in T[/tex] definisco:
[tex]S_{\varphi}:= \left\{r\in R| \varphi \in r\right\}[/tex]. Bisogna osservare che per ogni [tex]r\in S_\varphi[/tex], [tex]\mathcal{A}_r[/tex] è un modello per [tex]r[/tex] e dunque [tex]A_r\models \varphi\quad \forall \phi\in r[/tex].

Siano [tex]Y:=\left\{S_\varphi| \varphi\in T\right\}[/tex] e [tex]\displaystyle\left:= \left\{X\subseteq R| \exists \varphi_1,\cdots, \varphi_n \in T \text{ con } \bigcap_{i=1}^n S_{\varphi_i}\subseteq X\right\}[/tex].

Si dimostra abbastanza facilmente che [tex]\left[/tex] è un filtro proprio di [tex]\mathcal{P}(R)[/tex] pertanto per il teorema di Stone sui filtri primi, esiste un ultrafiltro F tale che [tex]\left\subseteq F[/tex].

A questo punto mi viene detto che F non è un ultrafiltro principale, ma non capisco come mai .

La dimostrazione si conclude definendo l'ultraprodotto [tex]\mathcal{B}[/tex], invocando il teorema di Los, ho la tesi.

Ribadisco che la dimostrazione mi è chiara, ma non so come far vedere che F non è principale. QUalche idea?

Buonagiornata

[salvozungri]

Ci sono!!
Esiste una proposizione che afferma:
Un filtro F su R è un ultrafiltro principale se e solo se esiste un singoletto [tex]\left\{r_0\right\}\in \mathcal{P}(R)[/tex] tale che [tex]F:=\left<\left\{r_0\right\}\right>=\left\{X\in \mathcal{P}(R)| r_0\in X\right\}[/tex].

Ora nel nostro caso questo [tex]r_0[/tex] non esiste, infatti per ogni [tex]r\in R=\math{P}_\omega (T)[/tex], essendo T infinito, esiste un enunciato [tex]\varphi\in T[/tex] che non appartiene ad [tex]r[/tex] e quindi [tex]r\notin S_{\varphi}[/tex]. Ora ogni [tex]S_\phi\in F[/tex], posso quindi concludere che per ogni [tex]r\in R[/tex] esiste un [tex]X \in F[/tex] tale che [tex]r\notin X[/tex], dunque non esiste il singoletto che mi genera l'ultrafiltro F. Credo funzioni

Quanto è bella la logica matematica quando si capisce

Se ci sono errori, fatemelo notare grazie