Teorema di Cauchy per i gruppi

[anto_zoolander]

ho letto la dimostrazione del teorema di Cauchy per i gruppi e ho provato ad abbozzarne un'altra che però non riesco a concludere; vi chiedo se ci sia una strada per farlo.

Sia $(G,*)$ un gruppo finito di ordine $abs(G)$ e $p$ un primo che divide $n$ allora $G$ ha un sottogruppo di ordine $p$

pongo $pk=n$

dimostrazione(bozza)

per ogni $g in G$ posso considerare $<> leqG$ e per il teorema di Lagrange per i gruppi finiti dovrà essere

$o(g)|n$ per ogni $g$ quindi $pk=h_(g)*o(g) => p|h_(g)*o(g)$

essendo $p$ un numero primo $p|h_(g)$ oppure $p|o(g)$

se esistesse un $g in G$ per cui $p|o(g)$ avrei finito poiché essendo $<>$ ciclico per ogni divisore di $o(g)$ si avrebbe un unico sottogruppo ciclico di quell'ordine e pertanto si avrebbe un unico sottogruppo di ordine $p$ che verrebbe ad essere un sottogruppo di $G$

pertanto si dovrebbe ottenere una qualche contraddizione supponendo per assurdo che $p|h_(g)$ per ogni $g$
soltanto che non ci riesco.

[Studente Anonimo]

Le dimostrazioni classiche non ti piacciono?

[anto_zoolander]

Questa non mi piace molto, l’ho mandata giù, ma volevo provare a farla diversamente.