Teorema di Binet in anelli non unitari
Teorema (Binet) Se \(A, B\) sono matrici \(n \times n\) a coefficienti complessi allora
\[(1)\qquad \det(AB)=\det(A)\det(B).\]
Leggevo proprio adesso una interessante osservazione sul libro di algebra di Artin (§12.3): questa identità si estende senza sforzo ulteriore a matrici a coefficienti in qualsiasi anello commutativo unitario \(R\). Infatti, fissate \(A=(a_{ij}), B=(b_{hk}) \in R^{n \times n}\), l'identità \((1)\) è della forma \(f(a_{ij}, b_{hk})=0\) per un polinomio \(f\) in \(2n^2\) indeterminate \(x_{ij}, y_{hk}\) e coefficienti \(\pm 1\). Siccome per ogni coppia di matrici \(M=(m_{ij}), N=(n_{hk})\) a coefficienti interi si ha \(f(m_{ij}, n_{hk})=0\), questo polinomio è identicamente nullo se visto come a coefficienti interi. Ma allora esso è identicamente nullo anche su \(R\) ([size=89]+[/size]), da cui la tesi.
Domanda Cosa succede se \(R\) non è unitario? Mi pare che la presente costruzione non si possa fare più. La formula di Binet è ancora vera o no?
______________
(+) Se \(R\) non è commutativo questo non è vero.
\[(1)\qquad \det(AB)=\det(A)\det(B).\]
Leggevo proprio adesso una interessante osservazione sul libro di algebra di Artin (§12.3): questa identità si estende senza sforzo ulteriore a matrici a coefficienti in qualsiasi anello commutativo unitario \(R\). Infatti, fissate \(A=(a_{ij}), B=(b_{hk}) \in R^{n \times n}\), l'identità \((1)\) è della forma \(f(a_{ij}, b_{hk})=0\) per un polinomio \(f\) in \(2n^2\) indeterminate \(x_{ij}, y_{hk}\) e coefficienti \(\pm 1\). Siccome per ogni coppia di matrici \(M=(m_{ij}), N=(n_{hk})\) a coefficienti interi si ha \(f(m_{ij}, n_{hk})=0\), questo polinomio è identicamente nullo se visto come a coefficienti interi. Ma allora esso è identicamente nullo anche su \(R\) ([size=89]+[/size]), da cui la tesi.
Domanda Cosa succede se \(R\) non è unitario? Mi pare che la presente costruzione non si possa fare più. La formula di Binet è ancora vera o no?
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(+) Se \(R\) non è commutativo questo non è vero.
Risposte
Che la formula di Binet sia vera su un generico anello commutativo lo si dimostra facendo i conti a mano; io la dimostro per induzione e per pazienza.
Adesso purtroppo non ho il tempo di leggere l'Artin (M. - Algebra ?) ma mi hai incuriosito.
Adesso purtroppo non ho il tempo di leggere l'Artin (M. - Algebra ?) ma mi hai incuriosito.
Ho letto il paragrafo in questione, almeno nell'edizione che ho io si parla di anelli senza distinzione; a meno che non si stia sottointendendo che siano anelli unitari!
Certo, si sottointende che gli anelli in questione siano unitari, è detto all'inizio del capitolo. E poi, senza questa ipotesi la costruzione fatta non funziona, o almeno non in modo ovvio.
Ti rispondo di fretta: da quanto ho capito, il metodo proposto da Artin è solo per estendere alcune dimostrazioni dai campi agli anelli commutativi unitari.
Ovviamente mettiti una tuta anti-scemenze di livello massimo...
Ovviamente mettiti una tuta anti-scemenze di livello massimo...
Direi che basta far vedere che ogni anello non unitario si può immergere in un anello unitario (tramite una sorta di "estensione di scalari"). Ricordo che l'aveva fatto il prof. A. Facchini alla prima lezione di "introduzione alla teoria degli anelli", riporto qui sotto il procedimento perché non trovo fonti in giro.
Sia [tex]R[/tex] un anello commutativo non unitario, e sia [tex]A := R \times \mathbb{Z}[/tex]. Definiamo un'operazione su [tex]A[/tex] come segue: [tex](r,t) \cdot (r',t') := (r \cdot r' + r \cdot t' + t \cdot r', t \cdot t')[/tex], dove la moltiplicazione per elementi di [tex]\mathbb{Z}[/tex] è la solita (quella che rende i gruppi abeliani [tex]\mathbb{Z}[/tex]-moduli). Questo [tex]A[/tex], dotato della somma per componenti e del prodotto appena definito, è un anello commutativo unitario con [tex]1_A = (0_R,1_{\mathbb{Z}})[/tex], e l'immersione canonica (l'inclusione) [tex]R \to A[/tex] è un omomorfismo di anelli.
Sia [tex]R[/tex] un anello commutativo non unitario, e sia [tex]A := R \times \mathbb{Z}[/tex]. Definiamo un'operazione su [tex]A[/tex] come segue: [tex](r,t) \cdot (r',t') := (r \cdot r' + r \cdot t' + t \cdot r', t \cdot t')[/tex], dove la moltiplicazione per elementi di [tex]\mathbb{Z}[/tex] è la solita (quella che rende i gruppi abeliani [tex]\mathbb{Z}[/tex]-moduli). Questo [tex]A[/tex], dotato della somma per componenti e del prodotto appena definito, è un anello commutativo unitario con [tex]1_A = (0_R,1_{\mathbb{Z}})[/tex], e l'immersione canonica (l'inclusione) [tex]R \to A[/tex] è un omomorfismo di anelli.
Oh benissimo, grazie Martino, proprio questo era l'anello mancante. Esattamente l'inclusione sarà la mappa $x \in R \mapsto (x, 0_{\mathbb{Z}})$, immagino. Scrivendo scrivendo mi è venuto in mente che avevo già visto qualcosa del genere da qualche parte: e infatti dopo una piccola ricerca ho trovato questa costruzione al §2.17 di Jacobson Basic Algebra 1 (lì si parla di "rngs" - rings without unity). Non so, magari questa segnalazione può servire.
Non c'è nulla da fare, sai sempre l'ultima Martino 
Questo spiega (in parte) perché il prof. di algebra commutativa richiede che l'immersione di un sottoinsieme stabile rispetto alle operazioni di un dato anello sia un omomorfismo!
Questo spiega (in parte) perché il prof. di algebra commutativa richiede che l'immersione di un sottoinsieme stabile rispetto alle operazioni di un dato anello sia un omomorfismo!
Eccolo! 
In particolare:
In particolare: "Wikipedia":
Every rng is an ideal in some ring, and every ideal of a ring is a rng.
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