Teorema cinese del resto
sapreste dimostrarmi il teorema cinesa del resto?? Grazie
Risposte
Supponiamo siano $m_1, m_2, \ldots, m_n$ interi non nulli a due a due coprimi ed $a_1, a_2, \ldots, a_n \in ZZ$, dove $n \in NN = \{1, 2, \ldots, n\}$. Si tratta di dimostrare che esiste $x \in ZZ$ tale che $x \equiv a_k$ mod $m_k$, per ogni $k = 1, 2, \ldots, n$. Se $n = 1$, la tesi è banale. Perciò ammettiamo $n\ge 2$ e poniamo $m = m_1 m_2 \ldots m_n$. Per ogni $k = 1, 2, \ldots, n$: $\gcd(m_k, m\mbox{/}m_k) = 1$, per cui esistono $\alpha_k, \beta_k \in ZZ$ tali che $\alpha_k\cdot m_k + \beta_k \cdot m\mbox{/}m_k = 1$ (per via dell'identità di Bezout). Sia, quindi, $b_k = \beta_k \cdot m\mbox{/}m_k$. Evidentemente, i) $b_k\equiv 0$ mod $m_i$, se $i = 1, 2, \ldots, n$ e $i \ne k$; ii) $b_k \equiv 1$ mod $m_k$. Allora, posto $x = \sum_{i=1}^n a_i b_i$, vale che $x \equiv a_k$ mod $m_k$, per ogni $k = 1, 2, \ldots, n$. []
P.S.: questo, a mio parere, andrebbe sdoganato in "Matematica discreta".
P.S.: questo, a mio parere, andrebbe sdoganato in "Matematica discreta".
Sicura di non aver trovato questa dimostrazione in giro?
Dò la dimostrazione generale (a mio avviso da preferirsi se si conoscono gli anelli) nel caso "2 ideali".
Teorema cinese del resto (caso $n=2$): sia $A$ un anello commutativo e siano $I$ e $J$ due ideali tra loro coprimi, ovvero tali che $I+J=A$. Allora $A//IJ cong A//I times A//J$.
Dim. Siano $i in I$, $j in J$ tali che $i+j=1$.
Lemma: $I cap J = IJ$.
[$IJ$ è chiaramente contenuto in $I cap J$. Resta da provare l'altra inclusione. Dato $k in I cap J$, abbiamo che $k=ik+jk in IJ$ in quanto $ik in IJ$ (perché $k in J$) e $jk in IJ$ (perché $k in I$).]
Sia $varphi: A to A//I times A//J$, il morfismo che manda un elemento nella coppia ordinata delle sue classi. Il nucleo è visibilmente $I cap J=IJ$. In virtù del primo teorema di omomorfismo, basta allora dimostrare che $varphi$ è suriettiva. Sia allora $(x+I,y+J) in A//I times A//J$ da raggiungere. Sia $a=iy+jx in A$. Allora $varphi(a)=(jx+I,iy+J)=(x+I,y+J)$ perché $jx equiv jx+ix = x\ mod(I)$, $iy equiv iy+jy = y\ mod(J)$.
Nel caso di $ZZ$ ciò significa che se $n$ e $m$ sono due interi coprimi allora $ZZ//nmZZ cong ZZ//nZZ times ZZ//mZZ$, e questo isomorfismo dice esattamente che se $a,b in ZZ$ allora esiste $x in ZZ$ (unico modulo $nm$) tale che $x equiv a\ mod(n)$ e $x equiv b\ mod(m)$.
@Gabriel: non sono certo un moderatore, ma a me sembra che il filone qui non sia fuori luogo - e non vorrei che si rischiasse di diventare troppo fiscali - ma è una mia opinione.
Dò la dimostrazione generale (a mio avviso da preferirsi se si conoscono gli anelli) nel caso "2 ideali".
Teorema cinese del resto (caso $n=2$): sia $A$ un anello commutativo e siano $I$ e $J$ due ideali tra loro coprimi, ovvero tali che $I+J=A$. Allora $A//IJ cong A//I times A//J$.
Dim. Siano $i in I$, $j in J$ tali che $i+j=1$.
Lemma: $I cap J = IJ$.
[$IJ$ è chiaramente contenuto in $I cap J$. Resta da provare l'altra inclusione. Dato $k in I cap J$, abbiamo che $k=ik+jk in IJ$ in quanto $ik in IJ$ (perché $k in J$) e $jk in IJ$ (perché $k in I$).]
Sia $varphi: A to A//I times A//J$, il morfismo che manda un elemento nella coppia ordinata delle sue classi. Il nucleo è visibilmente $I cap J=IJ$. In virtù del primo teorema di omomorfismo, basta allora dimostrare che $varphi$ è suriettiva. Sia allora $(x+I,y+J) in A//I times A//J$ da raggiungere. Sia $a=iy+jx in A$. Allora $varphi(a)=(jx+I,iy+J)=(x+I,y+J)$ perché $jx equiv jx+ix = x\ mod(I)$, $iy equiv iy+jy = y\ mod(J)$.
Nel caso di $ZZ$ ciò significa che se $n$ e $m$ sono due interi coprimi allora $ZZ//nmZZ cong ZZ//nZZ times ZZ//mZZ$, e questo isomorfismo dice esattamente che se $a,b in ZZ$ allora esiste $x in ZZ$ (unico modulo $nm$) tale che $x equiv a\ mod(n)$ e $x equiv b\ mod(m)$.
@Gabriel: non sono certo un moderatore, ma a me sembra che il filone qui non sia fuori luogo - e non vorrei che si rischiasse di diventare troppo fiscali - ma è una mia opinione.
Se ne fai una questione di algebra, certamente "Università" è la sezione più indicata. Soltanto ho ritenuto - arbitrariamente, se così ti pare - che la domanda di valy si riferisse alla versione classica del teorema cinese del resto. Ecco detto perché avrei trovato più appropriato spostarla in "Matematica discreta".
"Gabriel":
Se ne fai una questione di algebra, certamente "Università" è la sezione più indicata. Soltanto ho ritenuto - arbitrariamente, se così ti pare - che la domanda di valy si riferisse alla versione classica del teorema cinese del resto. Ecco detto perché avrei trovato più appropriato spostarla in "Matematica discreta".
Ok
"Martino":
Sicura di non aver trovato questa dimostrazione in giro?
Dò la dimostrazione generale (a mio avviso da preferirsi se si conoscono gli anelli) nel caso "2 ideali".
Teorema cinese del resto (caso $n=2$): sia $A$ un anello commutativo e siano $I$ e $J$ due ideali tra loro coprimi, ovvero tali che $I+J=A$. Allora $A//IJ cong A//I times A//J$.
Dim. Siano $i in I$, $j in J$ tali che $i+j=1$.
Lemma: $I cap J = IJ$.
[$IJ$ è chiaramente contenuto in $I cap J$. Resta da provare l'altra inclusione. Dato $k in I cap J$, abbiamo che $k=ik+jk in IJ$ in quanto $ik in IJ$ (perché $k in J$) e $jk in IJ$ (perché $k in I$).]
Sia $varphi: A to A//I times A//J$, il morfismo che manda un elemento nella coppia ordinata delle sue classi. Il nucleo è visibilmente $I cap J=IJ$. In virtù del primo teorema di omomorfismo, basta allora dimostrare che $varphi$ è suriettiva. Sia allora $(x+I,y+J) in A//I times A//J$ da raggiungere. Sia $a=iy+jx in A$. Allora $varphi(a)=(jx+I,iy+J)=(x+I,y+J)$ perché $jx equiv jx+ix = x\ mod(I)$, $iy equiv iy+jy = y\ mod(J)$.
Nel caso di $ZZ$ ciò significa che se $n$ e $m$ sono due interi coprimi allora $ZZ//nmZZ cong ZZ//nZZ times ZZ//mZZ$, e questo isomorfismo dice esattamente che se $a,b in ZZ$ allora esiste $x in ZZ$ (unico modulo $nm$) tale che $x equiv a\ mod(n)$ e $x equiv b\ mod(m)$.
@Gabriel: non sono certo un moderatore, ma a me sembra che il filone qui non sia fuori luogo - e non vorrei che si rischiasse di diventare troppo fiscali - ma è una mia opinione.
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